6) Geometria

Vektorok hasznalata: skalaris, vektorialis es vegyes szorzat

Def.: $u,v\in {\mathbb{R}}^n$ a ket vektor skalaris szorzatatan a kovetkezo szamot ertjuk:

$$u\cdot v=\sum _{i=1}^n{u}_i\cdot v_i.$$

Megj.: A skalaris szorzas egy bilinerais szimmetrikus pozitiv szemidefinit fuggveny.
Tetel:

$$u\cdot v=|u|\cdot |v|\cdot \cos \phi .$$

Kov.: $u\cdot v=0⟺u\perp v$.
Kov.: Adott $a\in {\mathbb{R}}^n$, minden $v\in {\mathbb{R}}^n$ vektor felbonthato $v=v_p+v_m$ komponensekre, ahol $v_p$ parhuzamos $a$-val es $v_m$ meroleges $a$-ra. Tovabba a kovetkezo kepletek adjak a komponenseket:

$$v_p=\lambda a,\text{ahol }\lambda =\frac{a\cdot v}{|a{|}^2}.$$

Def.: Adott ket $u,v\in {\mathbb{R}}^3$ vektornak a vektorialis szorzatan azt a vektort ertjuk, amit ugy kapunk, hogy a

$$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$$

determinanst az elso sora szerint fejtjuk ki. Jelolesben $u\times v$.
Megj.: A vektorialis szorzas egy bilinearis antiszimmetrikus fuggveny.
Tetel:

$$u\times v=0⟺u\parallel v.$$

Tetel: (Computer graphics)

1. $a\times b$ meroleges az $a$ es $b$ altal veszitett sikra.
2. $|a\times b|=|a|\cdot |b|\cdot \sin \phi$, tehat a vektorialis szorzat altal letrejott vektor hossza pont akkora mint az $a$ es $b$ altal feszitett parallelogramma terulete.
3. Az $a,b,a\times b$ vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak.

Def.: Az $i,j,k$ rendezett bazissal megegyezo iranyitasu vektorok jobbrendszert alkotnak. Jobbkez szabaly.
Megj.: A fenti tetel alapveto a szamitogepes grafikaban raszterizalasnal, amikor haromszogek felulet normaljat szamoljuk.

Def.: Az $a,b,c\in {\mathbb{R}}^3$ vektorok vegyes szorzatan a $(a,b,c)=(a\times b)\cdot c$ szamot ertjuk.

$$(a,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

Megj.: A vegyes szorzas linearis, es az elojele fugg a permutacio elojeletol, tehat $(a,b,c)=(-1{)}^{\pi }\pi (a,b,c)$.
Tetel: $(a,b,c)=0⟺a,b,c$ linearisan osszefuggnek.
Tetel: Az $a,b,c$ vektorok vegyes szorzata pont az altaluk feszitett paralellepipedon elojeles terfogata.

Tetel: (Kifejtesi tetel) …
Tetel: (Jacobi azonossag) …
Tetel: (Lagrange azonossag) …

Konvexitas alapfogalmai

Def.: Az $A\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmaz konvex, ha minden $a,b\in A$-ra $[a,b]\in A$.
Tetel: Konvex halmazok tetszoleges csaladjanak mettszete is konvex.
Def.: A $H\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmaz konvex burkan a legszukebb konvex halmazt ertjuk mely tartalmazza $H$-t.
Tetel: Minden $H\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmaznak egyertelmuen letezik a konvex burka.
Def.: Az $a_1,\dots ,a_n\in {\mathbb{R}}^d$ pontok konvex konbinaciojan a

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot a_i$$

szamot ertjuk, ahol ${\alpha }_i\in {\mathbb{R}}_0^{+}$ es $\sum {\alpha }_i=1$.
Tetel: A $K\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmaz pontosan akkor konvex, ha tetszolegesen sok pontjanak minden konvex kombinacioja benne van $K$-ban.
Tetel: Tetszoleges $H\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmaz konvex burka eloall, mint a halmaz pontjainak osszes konvex kombinaciojanak halmaza.
Tetel: (Radon lemma) Tetszoleges $d+2$ darab pont ${\mathbb{R}}^d$-ben felbonthato ket halmaz diszjunkt uniojara ugy hogy a ket halmaz konvex kombinaciojanak mettszete nem ures.
Tetel: (Helly tetel) Adott $K_1,\dots ,K_n\subseteq {\mathbb{R}}^d$ konvex halmaz ugy hogy $n\ge d+1$. Ekkor ha barmaly $d+1$ darab halmaz mettszete nem ures, akkor az osszes $n$ darab mettszete sem ures.

Elvalasztasi tetelek

Tetel: Legyen $K\subset {\mathbb{R}}^d$ kompakt konvex halmaz, legyen $p\in {\mathbb{R}}^d-K$ kulso pont. Ekkor letezik $y\in {\mathbb{R}}^d$ es $\alpha \in \mathbb{R}$ melyre $y\cdot p+\alpha >1$ es $y\cdot x+\alpha \le 1$.
Megj.: Magyarul ez azt jelenti hogy ha van egy kompakt konvex halmaz es egy pont ami ezen kivul van, akkor letezik olyan $y$ normalvektoru hipersik amely elvalasztja a konvex halmazt a kulso ponttol. Tehat a konvex halmaz a hipersik egyik oldalan van, mig a pont a masikon.
Tetel: Legyenek $K$ es $L$ diszjunkt kompakt konvex halmazok ${\mathbb{R}}^d$-ben. Ekkor letezik olyan hipersik, mely altal meghatarozott ket nyilt felter egyike $K$-t, a masik $L$-et tartalmazza.

Konvex halmazok Hausdorff-tavolsaga

Def.: Az $X,Y\subseteq {\mathbb{R}}^d$ halmazok Hausdorff tavolsagan a kovetkezo szamot ertjuk:

$$d(X,Y):=\inf \{\delta >0:Y\subseteq X+B(0,\delta ),X\subset Y+B(0,\delta )\}.$$

Megj.: Tehat az $X$ es $Y$ halmazok Hausdorff tavolsaga ugy kepzelheto el mint hogy mennyire tavol van a ket legtavolabbi pont. Avagy mennyire kell felfujnunk $X$-et hogy beleferjen $Y$ es forditva.
Tetel: Az ${\mathbb{R}}^d$-beli konvex kompakt halmazokon a Hausdorff tavolsag egy metrika.
Tetel: Sot, nem csak metrika hanem teljes metrikus teret alkot.

Eueler-fele poliedertetel

Minden konvex poliederre fennall a kovetkezo formula:

$$V-E+F=2.$$

Ugyanez a formula fennall minden sikbarajzolhato grafra is, es az ugras poliederekrol sikbarajzolhato grafokra nagyon szep. Rakjuk bele a poliedert egy gombbe es vetitsuk le a polieder oldalait eleit es csucsait a korulotte levo gomb falaira. Ezt a gombot nyissuk ki egy pontjanal es huzzuk szet vegtelenul ameddig nem kapunk egy sikot. Az igy kapott sikon rajta lesz a konvex polieder grafja, ahol a csucsok pontok, az elek elek, az oldalak tartomanyok a grafban.

Szabalyos poliederek

Olyan konvex poliederek, melyeknek minden oldala egybevago es minden csucsa egyforma, tehat ugynannyi lap talalkozik es ugyanabban a szogben.

Euklideszi ter

${\mathbb{R}}^n$ ellatva a skalaris szorzattal

Projektiv sik

Def.: A $V_{\mathbb{F}}$ vektorter projektivizaltja $P(V)=(V\setminus \{0\})╱\sim$, ahol $u,v\in V-\{0\}$ es $u\sim v$ ha $\exists \lambda \in \mathbb{F}:v=\lambda u$.
Megj.: Magyarul a fenti definicio azt jelenti hogy a projektiv ter elemei a vektorter origon atmeno egyenesei.
Def.: Legyen $U\le V$ linearis alter, ekkor $P(U)$ projektiv alter, es $\dim P(U)=\dim U-1$.
Def.: Legyen $X\subseteq P(V)$. Ekkor az $X$ altal generalt projektiv alteren az $X$-et tartalmazo legszukebb projektiv alteret ertjuk.
Tetel: Tetszoleges $X\subseteq P(V)$ altal generalt projektiv alter egyertelmuen letezik. Jelolesben $⟨X⟩$.
Def.: Legyen $U\le V$ linearis alter, ekkor $U$ annulatoran $U^{\perp }$ a kovetkezot ertjuk:

$$U^{\perp }:=\{\alpha \in V^{\ast }:\alpha {|}_U=0\}.$$

Hogyan gondoljunk a projektiv sikra?

1. pontok: ${\mathbb{R}}^3$ origon atmeno egyenesei, egyenesek: ${\mathbb{R}}^3$ origon atmeno sikjai
2. pontok: $S^2$ atellenes pont parjai, egyenesek: $S^2$ fokorei
3. fogok egy sikot ${\mathbb{R}}^3$-ban, a pontok az origobol indulo sugarak es ezen sik metszetei, a sikok az egy origobol kiindulo sik es a sik metszete. A pontokhoz meg hozza kell venni a sikkal parhuzamos egyeneseket mint idealis pontokat.

Kvaterniok

$$i^2=j^2=k^2=ijk$$

Tetel: (Frobenius) Osszesen harom veges dimenzios nullosztomentes asszociativ valos algebra letezik: $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$.

SO(3) csoport

Azon ortogonalis $3\times 3$ matrixok csoportja melyeknek a determinansa $1$. Ezek pont a forgatasok ${\mathbb{R}}^3$-ban.

$$\begin{array}{rl}& R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\ & R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\\ & R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$