TovFejAnal pset 2

1.

Norma-e $\Vert \cdot {\Vert }_1\left(\Vert f{\Vert }_1:={\int }_{\alpha }^b|f|\right)$ a Riemann-integrálható függvények $R[a,b]$ vektorterén?
Válasz:
Nem, mivel tudunk alkotni egy olyan $g$ függvényt, mely mindenhol azonosan $0$ kivéve $\frac{a+b}{2}$-ben, ahol 1. Látszik, hogy ennek a függvénynek az $[a,b]$ intervallumon az integrálja $0$ de mégsem az azonosan $0$ függvény.

2.

(a) Legyen $n\in \mathbb{N}$ rögzitett. Számítsuk ki az alábbi függvények $\Vert \cdot {\Vert }_1$ és $\Vert \cdot {\Vert }_{\max }\left(\Vert f{\Vert }_{\max }:={\max }_{x\in D_f}|f(x)|\right)$ szerinti normáját a $\mathcal{C}([0,1];\mathbb{R})$ térben!
a) $f_n(x):=x^n$
b) $f_n(x):=e^{-nx}$

$$||x^n|{|}_1={\int }_0^1|x^n|dx{\int }_0^1{x}^{n}dx{\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1}{(n+1)}$$ $$||x^n|{|}_{\max }=\underset{x\in [0,1]}{\max }|x^n|=1$$ $$||e^{-nx}|{|}_1={\int }_0^1|e^{-nx}|dx={\int }_0^1{e}^{-nx}dx={\left[-\frac{e^{-nx}}{n}\right]}_0^1=-\frac{e^{-n}}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1-e^{-n}}{n}$$ $$||e^{-nx}|{|}_{\max }=\underset{x\in [0,1]}{\max }|e^{-nx}|=1$$

(b) Igaze a fenti ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ fuiggvénysorozatokra, hogy ha $n\to \infty$, akkor $f_n\to 0$ a ${\Vert \cdot \Vert }_1$, illetve $\Vert \cdot {\Vert }_{\text{max}}$ normák szerint a $\mathcal{C}([0,1];\mathbb{R})$ térben?

Ahhoz, hogy igazuljuk a $f_n(x)\stackrel{||\cdot |{|}_1}{\to }0$ kifejezest ahhoz be kell látnunk, hogy $||f_n(x)-0|{|}_1\to 0$.

$$||x^n-0|{|}_1=||x^n|{|}_1=\frac{1}{n+1}\to 0\text{ ha }n\to \infty$$ $$||e^{-nx}0|{|}_1=||e^{-nx}|{|}_1=\frac{1-e^{-n}}{n}\to 0\text{ ha }n\to \infty$$

Ahhoz, hogy igazuljuk $f_n(x)\stackrel{||\cdot |{|}_{\max }}{\to }0$ kifejezest ahhoz be kell látnunk, hogy $||f_n(x)-0|{|}_{\max }\to 0$.

$$||x^n-0|{|}_{\max }=||x^n|{|}_{\max }=1\ne 0$$ $$||e^{-nx}-0|{|}_{\max }=||e^{-nx}|{|}_{\max }=1\ne 0$$

Tehát a fenti két függvény sorozat $||\cdot |{|}_1$ normában konvergens az azonosan $0$ függvényhez, viszont $||\cdot |{|}_{\max }$ normában nem konvergálnak.

3.

Jelölje ${\mathcal{C}}^1([a,b];\mathbb{R})$ az $[a,b]$ intervallumon értelmezett, valós értékü folytonosan differenciálható függvények vektorterét.
(a) Mutassuk meg, hogy az alábbi $\Vert \cdot {\Vert }_{C^1}:{\mathcal{C}}^1([a,b];\mathbb{R})\to \mathbb{R}$,

undefined

\lvert\lvert \lambda f \rvert\rvert_{C^{1}} = \lvert\lvert \lambda f \rvert\rvert_{\max} + \lvert\lvert (\lambda f)’ \rvert\rvert_{\max} = \lvert\lvert \lambda f \rvert\rvert_{\max} + \lvert\lvert \lambda f’ \rvert\rvert_{\max} = \lvert \lambda \rvert\cdot \lvert\lvert f \rvert\rvert_{\max} + \lvert \lambda \rvert \cdot \lvert\lvert f’ \rvert\rvert_{\max} = \lvert \lambda \rvert\cdot \lvert\lvert f \rvert\rvert_{C^{1}}

3. $\lvert\lvert f + g \rvert\rvert_{C^{1}} \leq \lvert\lvert f \rvert\rvert_{C^{1}} + \lvert\lvert g \rvert\rvert_{C^{1}}$

\lvert\lvert f + g \rvert\rvert _{C^{1}} = \lvert\lvert f + g \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert (f + g)’ \rvert\rvert _{\max} = \lvert\lvert f + g \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert f’ + g’ \rvert\rvert _{\max} \leq \lvert\lvert f \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert g \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert f’ \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert g’ \rvert\rvert _{\max}

= ( \lvert\lvert f \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert f’ \rvert\rvert _{\max} ) + ( \lvert\lvert g \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert g’ \rvert\rvert _{\max}) = \lvert\lvert f \rvert\rvert _{C^{1}} + \lvert\lvert g \rvert\rvert _{C^{1}}

\implies \lvert\lvert f + g \rvert\rvert _{C^{1}} \leq \lvert\lvert f \rvert\rvert {C^{1}} + \lvert\lvert g \rvert\rvert{C^{1}}

(b) Igazoljuk továbbá, hogy $\left(\mathscr{C}^1([a, b] ; \mathbb{R}),\|\cdot\| _{C^{1}}\right)$ Banach-tér! Be kell látnunk, hogy $\rho_{C^{1}}: \mathscr{C}[0, 1] \times \mathscr{C}[0, 1] \to \mathbb{R}, \quad \rho_{C^{1}}(f, g) := \lvert\lvert g - f \rvert\rvert_{C^{1}}$ metrikával $(\mathscr{C}[a, b], \rho_{C^{1}})$ teljes metrikus teret alkot, azaz minden Cacuhy-sorozat konvergens. Használjuk fel tudásunkat, hogy $(\mathscr{C}[a, b], \lvert\lvert \cdot \rvert\rvert_{\max})$ Banach-tér.

\lvert\lvert f_{n} - f_{m} \rvert\rvert_{C^{1}} \to 0 \xRightarrow{?} \lvert\lvert f_{n} - f \rvert\rvert_{C^{1}} \to 0

\lvert\lvert f_{n} - f_{m} \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert (f_{n} - f_{m})' \rvert\rvert_{\max} \to 0 \xRightarrow{?} \lvert\lvert f_{n} - f \rvert\rvert _{\max} + \lvert\lvert (f_{n} - f)' \rvert\rvert _{\max} \to 0

Mivel $(\mathscr{C}[a, b], \lvert\lvert \cdot \rvert\rvert_{\max})$ Banach-tér, ezért:

\lvert\lvert f_{n} - f_{m} \rvert\rvert {\max} \to 0 \implies \lvert\lvert f{n} - f \rvert\rvert _{\max} \to 0

\lvert\lvert (f_{n} - f_{m})’ \rvert\rvert {\max} \to 0 \implies \lvert\lvert (f{n} - f)’ \rvert\rvert _{\max} \to 0

undefined