FolytMod projekt a) feladat

a) Számítsuk ki a (4) Lorenz-modell egyensúlyi helyzeteit, valamint azok stabilitását a következő paraméterek értékei mellett. (Szükség lehet a harmadfokú egyenlet Cardano-féle megoldóképletére.)

EH-k kiszamolasa

$$\alpha =10,\beta =28,\gamma =8/3$$

Megoldando egyenletrendszer:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\alpha y-\alpha x=0\\ y^{\prime }=x(\beta -z)-y=0\\ z^{\prime }=xy-\gamma z=0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}y-x=0\\ x(\beta -z)-y=0\\ xy-\gamma z=0\end{array}$$

Az elso egyenletbol kovetkezik, hogy $x=y$

Adjuk ossze az elso es a masodik egyenletet:

$$\{\begin{array}{l}x(\beta -z)-y+y-x=0\\ xy-\gamma z=0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x(\beta -z)-x=0\\ xy-\gamma z=0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x(\beta -1-z)=0\\ xy-\gamma z=0\end{array}$$

Az elso egyenletbol kovetkezik, hogy $z=\beta -1$

Eddig ott tartunk, hogy $x=y$ es $z=\beta -1$. Ezeket irjuk be az utolso egyenletbe:

$$\begin{array}{rl}x(x)-\gamma (\beta -1)& =0\\ x^2-\gamma (\beta -1)& =0\end{array}$$ $$⟹x_{0,1}=\pm \sqrt{\gamma (\beta -1)}$$

Tehat megkaptuk azt, hogy ha $\beta >1$ akkor a kovetkezo harom egyensulyi helyzet letezik:

$$\begin{array}{rl}{P}_1& =\left(0,0,0\right)\\ P_2& =\left(\sqrt{\gamma (\beta -1)},\sqrt{\gamma (\beta -1)},\beta -1\right)\\ P_3& =\left(-\sqrt{\gamma (\beta -1)},-\sqrt{\gamma (\beta -1)},\beta -1\right)\end{array}$$

Ha $\beta <1$ akkor csak egy egyensulyi helyzet van: $(0,0,0)$

EH-k stabilitasa

Legyen $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ egy egyensulyi helyzet. Ekkor a differencial egyenlet linearizaltjat

Az eredeti Lorenz modell egyenlete:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\alpha y-\alpha x\\ y^{\prime }=x(\beta -z)-y\\ z^{\prime }=xy-\gamma z\end{array}$$ $$f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}\alpha y-\alpha x\\ x(\beta -z)-y\\ xy-\gamma z\end{array}\right]$$

Ki kell szamolnunk $f$ Jacobi matrixat, azaz $f^{\prime }$-et:

$$f^{\prime }(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}-\alpha & \alpha & 0\\ \beta -z& -1& -x\\ y& x& -\gamma \end{array}\right]$$

Legyenek $(x_i,y_i,z_i)$ az egyensulyi helyzetek.
Ki kell szamolnunk $f^{\prime }(x_i,y_i,z_i)$ sajatertekeit

$$\det (f^{\prime }(x,y,z)-\lambda I)=\det \left(\left[\begin{array}{ccc}-\alpha -\lambda & \alpha & 0\\ \beta -z& -1-\lambda & -x\\ y& x& -\gamma -\lambda \end{array}\right]\right)$$

Az utolso oszlop szerint felbontva a kovetkezot kapjuk

$$\det (\dots )=-(\gamma +\lambda )(-\alpha \beta +\alpha \lambda +\alpha z+\alpha +{\lambda }^2+\lambda )+x(-\alpha x-\alpha y-\lambda x)$$

Ha $(x,y,z)=(0,0,0)$ akkor a masodik tag $0$ es tudjuk, hogy az elso tagnak gyoke $-\gamma$
Tehat a kovetkezo masodfoku egyenletet kell meg megoldanunk:

$$\begin{array}{rl}-\alpha \beta +\alpha \lambda +\alpha +{\lambda }^2+\lambda & =0\\ {\lambda }^2+(1+\alpha )\lambda +\alpha (1-\beta )& =0\end{array}$$

A sajatertekek a kovektezok:

$${\lambda }_{1,2}=\frac{-(1+\alpha )\pm \sqrt{(1+\alpha {)}^2-4\alpha (1-\beta )}}{2}$$ $${\lambda }_3=-\gamma$$

Lathatoan ${\lambda }_1>0$ igy $P_1=(0,0,0)$ egy instabil egyensulyi helyzet.

Mostmar csak a maradek ketto e.h.-t kell vizsgalnunk, de szerencsere ugyanazt az egyenletet kell megoldani mindkettohoz:

$$\begin{array}{rl}{\mu }^3+(1+\alpha +\gamma ){\mu }^2+(\alpha +\beta )\gamma \mu +2\alpha \gamma (1-\beta )& =0\end{array}$$

Mostmar nem tudunk ranezesre mondani egy gyokot igy tenyleg meg kell oldanunk egy harmadfoku egyenletet… :(

Legyen

$$p=\frac{3(\alpha +\beta )\gamma -(2\alpha \gamma (1-\beta ){)}^2}{3}$$ $$q=\frac{2(1+\alpha +\gamma {)}^3-9(1+\alpha +\gamma )(\alpha +\beta )\gamma +27\cdot 2\alpha \gamma (1-\beta )}{27}$$

Ezekkel az uj valtozokkal a kovetkezo ekvivalens az elozo harmadfoku egyenlettel:

$${\xi }^3+p\xi +q=0$$

Erre tudjuk alkalmazni a Cardano formulat:

$$\xi =\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

Ha

$$\beta <\frac{\alpha (\alpha +\gamma +3)}{\alpha -\gamma -1}$$

akkor mindharom megoldas negativ es igy $P_2$ es $P_3$ stabil egyensulyi helyzetek.

Ha

$$\beta >\frac{\alpha (\alpha +\gamma +3)}{\alpha -\gamma -1}$$

akkor mar $P_2$ es $P_3$ instabil egyensuly helyzetek.