Külömböző felosztások közelítőértékei

áll

Áll.: $\mathbb{P},{\mathbb{P}}^{\prime }$ felosztásai $Q$ téglának, $f:Q\to \mathbb{R}$ korlátos.
Ekkor:

$$s(f,\mathbb{P})\le S(f,{\mathbb{P}}^{\prime })$$

Biz.: Legyen ${\mathbb{P}}^{\prime \prime }$ közös finomítása $\mathbb{P}$ és ${\mathbb{P}}^{\prime }$-nek úgy, hogy ${\mathbb{P}}^{\prime \prime }=\mathbb{P}\cup {\mathbb{P}}^{\prime }$
Ekkor:

$$s(f,\mathbb{P})\le s(f,{\mathbb{P}}^{\prime \prime })\le S(f,{\mathbb{P}}^{\prime \prime })=S(f,{\mathbb{P}}^{\prime })$$ $$⟹s(f,\mathbb{P})\le S(f,{\mathbb{P}}^{\prime })$$