5.b) PDE es numerikus modszerek

Kezdeti es peremertek feladatok fogalma

Kezdeti feltetel, azaz kezdeti ertek avagy Cauchy-feladat

Van egy kituntettett valtozo, peldaul $t\in [t_0,\infty )$ peldaul az ido valtozo.
Ekkor $t=t_0$ esetet peremnek hivjuk ahol meg van adva $u=u(t,x)⇝u(t_0,x)=\phi (x)$ peremertek

Na, tehat van egy kituntetett valtozo, ami altalaban az ido es a kezdeti ertek $t_0$-ban meg van adva hogy milyen ertekeket vesz fel $u(t_0,x)=\phi (x)$.
Peldaul egy dobozban van valami gaz ami egy parc diff egyenlet alapjan viselkedik es mi megmondjuk hogy amikor elkezdtuk a kiserletet milyen alloptban volt a gaz.

Def.: $\Delta$ az ugy nevezett Laplace operator ahol $\Delta u:={\partial }_1^{2}u+\cdots +{\partial }_n^{2}u$

Parabolikus alak (hovezetesi egyenlet)

$$\begin{array}{rl}{\partial }_{t}u-\Delta u& =f\\ u(0,x)& =\Phi (x)\forall x\in \Omega \end{array}$$

Hiperbolikus alak (hullam egyenlet)

$$\begin{array}{rl}{\partial }_t^{2}u-\Delta u& =f\\ u(0,x)& =\Phi (x)\forall x\in \Omega \\ {\partial }_{t}u(0,x)& =\psi (x)\forall x\in \Omega \end{array}$$

Peremfeltetel, azaz peremertek feladat

Megadjuk $u$-nak vagy derivaltjanak az erteket egy peremen, azaz $\Omega$ egy korlatos hataran.
Peldaul egy dobozban van valami gaz ami egy parc diff egyenlet alapkan viselkedik es mi a kiserlet soran merjuk a doboz falain a gazt.

• Dirichlet-fele peremertek feladat: $u{\mid }_{\partial \Omega }$ adott
• Neumann-fele peremertek feladat: $({\partial }_{\nu }u){\mid }_{\partial \Omega }$ adott
• Vegyes peremertek feladat: $hu{\mid }_{\partial \Omega }+g({\partial }_{\nu }u){\mid }_{\partial \Omega }$ adoot
  Ha az adott peremertek feltetel nulla az egesz peremen akkor homogennak mondjuk a peremertek feladatot, kulonben inhomogen.

Megj.: Lehet kezdeti es perem feltetelt egyszerre is adni. Peldaul a dobozban ismerem hogy mi volt a kezdeti allapot es kozben merem a falakon a gaz allapotat.

Elliptikus alak (Poisson egyenlet)

$$-\Delta u=f$$

Altalanos eset:

$$\begin{array}{rl}-\mathrm{div}(p\nabla u)+qu& =f\Omega \text{-n}\\ g\cdot u{\mid }_{\partial \Omega }+h\cdot {\partial }_{\gamma }u{\mid }_{\partial \Omega }& =\varphi \partial \Omega \text{-n}\end{array}$$

Fourier modszer vegyes feladatokra

Vegyes feladat

$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u+Lu=f& t>0,x\in \Omega \\ u(0,x)=\Phi (x)& x\in \Omega \\ {\partial }_{t}u(0,x)=\Psi (x)& x\in \Omega \end{array}$$

Def.: Egy $L$ operatornak $e_k$ sajatfuggvenye ${\lambda }_k$ sajatertekkel, ha $L{e}_k={\lambda }_k{e}_k$

Keressuk az $u$ megoldast Fourier-sor alakban, azaz

$$u(t,x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k(t)e_k(x),$$

ahol $e_k(x)$ az $L$ sajatfuggvenye ($e_k\in D(L)$). Ekkor $f$ is felirhato ebben bazisban a kovetkezo Fourier-sorral:

$$f=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{e}_k$$

Ha ilyen alakban keressuk akkor nezzuk meg hogyan nez ki a feladat felirasa ezzel a behelyettesitessel:

$${\partial }_t^2\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k(t)e_k(x)\right)+L\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k(t)e_k(x)\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{e}_k(x).$$

A parcialis derivaltat bevihetjuk a szummaba es az operatort is alkalmazhatjuk egyesevel:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\partial }_t^2{\xi }_k(t)e_k(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k(t)L{e}_k(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{e}_k(x).$$

Mivel $e_k$ sajatfuggvenye $L$ nek minden $k$-ra, ezert $L{e}_k={\lambda }_k{e}_k$. Ezt kihasznalva a kovetkezore jutunk:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k^{\prime \prime }(t)e_k(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\xi }_k(t){\lambda }_k{e}_k(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{e}_k(x).$$

Osszevonva a ket szummat es kiemelve $e_k$-t a kovetkezot kapjuk:

$$\sum _{k=1}^{\infty }({\xi }_k^{\prime \prime }(t)+{\xi }_k(t){\lambda }_k)e_k(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{e}_k(x).$$

Most lathatjuk hogy ezekkel a trukkokkel arra redukaltuk a vegye PDE-t, hogy vegtelen sok masodrendu KDE-enk van, tehat $\forall k=1,2,3,\dots$ ertekre kell a kovetkezot megoldanunk:

$$\{\begin{array}{ll}{\xi }_k^{\prime \prime }(t)+{\xi }_k(t){\lambda }_k=c_k& \\ {\xi }_k(0)={\Phi }_k& \text{ahol }\Phi (x)={\sum }_{k=1}^{\infty }{\Phi }_k{e}_k(x)\\ {\xi }_k^{\prime }(0)={\Psi }_k& \text{ahol }\Psi (x)={\sum }_{k=1}^{\infty }{\Psi }_k{e}_k(x)\end{array}$$

Osszegezve a kovetkezok a lepesei a Fourier-modszernek:

1. $L$ operator ${\lambda }_k$ sajatertekeit es $e_k$ sajatfuggvenyeit ki kell szamolni.
2. $u,f,\Phi ,\Psi$ fuggvenyeket $e_k$ bazis szerint Fourier-sorba fejteni $⟹{\xi }_k,c_k,{\Phi }_k,{\Psi }_k$.
3. KDE megoldasa $⟹{\xi }_k$.
4. Osszerakni a vegso megoldast $u=\sum {\xi }_k{e}_k$.

Linearis es nemlinearis algebrai rendszerek iteracios megoldasa

Alapfeladat:

$$Ax=b$$

Gauss eliminacio

Mindenki tudja hogy hogyan mukodik.

Jacobi-iteracio

A kovetkezo iteracios megoldok azon az otleten alapulnak hogy ha az $Ax=b$ rendszert at tudjuk alakitani $x=Qx+r$ alakra akkor felhasznalva a Banach fixpont tetelt (felteve hogy teljesulnek a feltetelek) iteralva az $x_{n+1}=Q{x}_n+r$ egyenletet egy fixponthoz fogunk konvergalni.

Tetel: (Banach fixpont) Adott $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ fuggveny ha kontrakcio az egesz ${\mathbb{R}}^n$-en $q$ egyutthatoval akkor:

1. $f$-nek egyertelmuen letezik fixpontja, azaz $\exists !x^{\ast }\in {\mathbb{R}}^n$ ugy hogy $f(x^{\ast })=x^{\ast }$.
2. A kovetkezokeppen eloallitott sorozat tetszoleges pontbol inditva konvergal az egyetlen fixponthoz: $x_{n+1}=f(x_n)$.
3. A konvergencia uteme a kovetkezo keplettel adott:

$$\Vert x_k-x^{\ast }\Vert \le \frac{q^k}{1-q}\Vert x_1-x_0\Vert$$

Def.: Az $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ fuggveny kontrakcio az egesz ${\mathbb{R}}^n$-en $q$ egyutthatoval valamely $\Vert \cdot \Vert$ ${\mathbb{R}}^n$-beli normaban, ha letezik $q\in [0,1)$ egyutthato amelyre:

$$\Vert f(x)-f(y)\Vert \le q\Vert x-y\Vert \forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$$

Ergo, $f$ Lipscitz $<1$ egyutthatoval.

Nezzuk meg hogy az $f(x)=Qx+r$ fuggveny mikor kontrakcio:

$$\Vert f(x)-f(y)\Vert =\Vert Qx+r-Qy-r\Vert =\Vert Q(x-y)\Vert \le \Vert Q\Vert \cdot \Vert x-y\Vert$$

Tehat csak akkor kontrakcio a $Qx+r$ fuggveny ha van olyan norma ${\mathbb{R}}^n$-en ami olyan matrix normat indukal amelyben $\Vert Q\Vert <1$.

$$\begin{array}{rl}Ax& =b\\ (L+D+U)x& =b\\ Dx& =-(L+U)x+b\\ x& =-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b\end{array}$$

Tehat $Q=-D^{-1}(L+U)$ es $r=D^{-1}b$. Tehat a kovetkezokeppen nez ki a Jacobi-iteracio keplete:

$$x_{n+1}=-D^{-1}(L+U)x_n+D^{-1}b$$

Gauss–Seidel-iteracio

$$\begin{array}{rl}Ax& =b\\ (L+D+U)x& =b\\ (L+D)x& =-Ux+b\\ x& =-(L+D{)}^{-1}Ux+(L+D{)}^{-1}b\end{array}$$

Tehat $Q=-(L+D{)}^{-1}U$ es $r=(L+D{)}^{-1}b$. Tehat a kovetkezokeppen nez ki a Gauss–Seidel-iteracio keplete:

$$x_{n+1}=-(L+D{)}^{-1}U{x}_n+(L+D{)}^{-1}b$$

Egylepeses iteracio altalanos alakja

Vegyuk eszre hogy a Jacobi-iteraciot at tudjuk irni a kovetkezo alakban:

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =-D^{-1}(L+U)x_n+D^{-1}b\\ D{x}_{n+1}& =-(L+U)x_n+b\end{array}$$

Mivel $A=L+D+U$ ezert $L+U=A-D$.

$$\begin{array}{rl}D{x}_{n+1}& =-(A-D)x_n+b\\ D{x}_{n+1}& =(D-A)x_n+b\\ D{x}_{n+1}-D{x}_n+A{x}_n& =b\\ D(x_{n+1}-x_n)+A{x}_n& =b\end{array}$$

Hasonlokeppen a Gauss–Seidel-iteraciot is at tudjuk irni:

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =-(L+D{)}^{-1}U{x}_n+(L+D{)}^{-1}b\\ (L+D)x_{n+1}& =-U{x}_n+b\\ (L+D)x_{n+1}& =-(A-L-D)x_n+b\\ (L+D)x_{n+1}& =(-A+L+D)x_n+b\\ (L+D)x_{n+1}+A{x}_n-L{x}_n-D{x}_n& =b\\ (L+D)(x_{n+1}-x_n)+A{x}_n& =b\end{array}$$

Altalanos egylepeses iteracio:

$$B_{n+1}\frac{x_{n+1}-x_n}{{\tau }_{n+1}}+A{x}_n=b$$

A fenti jelolessel elve fel tudjuk irni a Jacobi-iteraciot es a Gauss–Seidel iteraciot is a kovetkezo ertekadasokkal.

• Jacobi: $B_{n+1}=D$, ${\tau }_{n+1}=1$
• Gauss–Seidel: $B_{n+1}=L+D$, ${\tau }_{n+1}=1$

Gradiens modszer

Valamilyen trukkos modon ha felirunk egy fuggvenyt aminek pont abban az $x$ pontban van minimumhelye ahol $Ax=b$ akkor ennek a fuggvenynek a minumhelyet megkeresve valahogy megkapjuk a megoldast a keresett egyenletrendszerre.
Legyen

$$\phi (x)=\frac{1}{2}(x,Ax)-(x,b)$$

Tobbvaltozos analizisbol tudjuk, hogy ${\phi }^{\prime }(x)=Ax-b$. Tehat ahol ${\phi }^{\prime }(x)=0$ ott $Ax-b=0$, azaz $Ax=b$.
Tovabba, ha feltesszuk hogy $A$ szimmetrikus pozitiv definit, akkor ${\phi }^{\prime \prime }(x)=A$ pozitiv definit tehat valoban minimumhely $x$.
Na most ha tudunk egy olyan eljarast ami egy fuggveny minimumhelyet megtalalja akkor megoldottuk az $Ax=b$ egyenletrendszert.

Mivel tudjuk hogy egy fuggveny a gradiense abba az iranyba mutat amelyik iranyba a leggyorsabban no a fuggveny, tehat abba az ellentetes iranyba csokken a leggyorsabban. Ha vesszuk a $\phi$ fuggveny gradienset es annak elentetes iranyba lepunk egy $\alpha$ meretu lepest akkor a kovetkezot kapjuk:

$${\phi }^{\prime }(x)=Ax-b⟹x_{n+1}=x_n+\alpha (Ax-b)$$

Konjugalt gradiens modszer

Newton-iteracio

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

Analog tobb dimenzioban:

$$x_{n+1}=x_n-(J(x_n){)}^{-1}\cdot f(x_n)$$

Ahol $J(x_n)$ az $f$ fuggveny Jacobi-matrixa az $x_n$ pontban.

Diff egyenletek megoldasa Euler modszerrel

$$\{\begin{array}{ll}{y}^{\prime }(t)& =f(t,y(t)),t\in (t_0,T)\\ y(t_0)& =y_0\end{array}$$

Explicit Euler-modszer

$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\tau$$

Implicit Euler-modszer

$$y_{n+1}=y_n+f(t_{n+1},y_{n+1})\tau$$