TovFejAnal het 2

date: 2024.02.20

pelda normara:
3. $(C[0,1]),\Vert \cdot {\Vert }_1$, $f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$.
Tulajdonsagok kozul a 2. es a 3. trivi
Kell 1. tulajdonsag:

$${\int }_0^1|f|=0\stackrel{?}{\Rightarrow }f\equiv 0$$

Mivel $f$ folytonos ezert ha egy $a\in [0,1]$ es $f(a)\ne 0$ volna akkor $\exists B_{\delta }$ ugy hogy $f{|}_{B_{\delta }}\ne 0⟹{\int }_0^1|f|\ne 0$

Megj.: A normalt ternek a normaja altal indukalt metrika eltolas invarians, vagyis igaz, hogy ${\rho }_{\Vert \cdot \Vert }(x+z,y+z)={\rho }_{\Vert \cdot \Vert }(x,y)$ $\forall x,y,z\in X$.

Feladat: Mutassunk olyan metrikat $\mathbb{R}$-en, mely nem eltolas invarians, tehat nem normanak az indukalt metrikaja.

Banach-ter

Def.: Azt mondjuk, hogy $(X,\Vert \cdot \Vert )$ normalt ter egy Banach-ter, ha $X$ teljes metrikus ter a norma altal indukalt metrikaval, (${\rho }_{\Vert \cdot \Vert }(x,y):=\Vert x-y\Vert$)-al.
Vagyis az $(x_n)\subset X$-ra: $\Vert x_n-x\Vert \to 0,⟺\exists N\in \mathbb{N}:\forall n,m>N\text{ melyre }\Vert x_n-x_m\Vert \to 0$.

peldak:

1. $(C[0,1],\Vert \cdot \Vert )$ Banach-ter
   Bizonyitas volt elozo felevben. Itt $f_n$ tart $f$-hez a normaban, ha egyenletesen tart hozza.

2. $({\mathbb{R}}^d,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ Banach-ter $\forall d,p\ge 0$
   Biz.: $(x^n)\subset {\mathbb{R}}^d$ Cauchy-sorozat $\Vert \cdot {\Vert }_p$ szerint $⟺$ $\forall 1\le i\le d$ es $(x_i^d)\subset \mathbb{R}$ Cauchy-sorozat $|\cdot |$ szerint.
   $⟹(x_i^n)\subset \mathbb{R}$ konvergens, $\exists x_i\in \mathbb{R}$ $x_i^n\to x$, $n\to \infty$
   $⟹$ $x:=(x_1,\dots ,x_n)$, $x^n\to x$ $({\mathbb{R}}^d,\Vert \cdot {\Vert }_p)$-ben

3. $(C[0,1]),\Vert \cdot {\Vert }_1$, $f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$ NEM Banach-ter!
   Biz.: Ellenpelda:
   

   Transclude of nem-banach-ter-pelda

Azt latjuk be hogy ha $f_n\to f$, akkor $f{|}_{\left[0,\frac{1}{2}\right]}\equiv 0$, $f{|}_{\left[\frac{1}{2},1\right]}\equiv 1$ ellentmondas, mert ekkor $f\notin C[0,1]$.

$${\int }_0^{1/2}|f|={\int }_0^{1/2}|f-f_n|\le {\int }_0^1|f-f_n|=\Vert f-f_n\Vert \to 0$$ $$⟹{\int }_0^{1/2}|f|=0⟹f\equiv 0\left[0,\frac{1}{2}\right]\text{-en}$$ $${\int }_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^1|f-1|={\int }_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^1|f-f_n|\le {\int }_0^1|f-f_n|\to 0$$ $$⟹{\int }_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^1|f-1|\to 0,n\to \infty ⟹{\int }_{\frac{1}{2}}^1|f-1|=0$$

Skalaris szorzas

Def.: $(\cdot ,\cdot ):X\times X\to \mathbb{R}$ skalaris szorzas ($X$ valos vektorter), ha kovetkezok teljesulnek:

1. $(x,x)=0⟺x=0_X$
2. $(x,x)\ge 0$ $\forall x\in X$
3. $(x,y)=(y,x)\forall x,y\in X$ (szimmetria)
4. $(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$ (bilinearitas)
   (Pozitív szemidefinit, szimmetrikus bilinearis forma, valos vektorteren)

peldak:

1. ${\mathbb{R}}^d$-n $(x,y):={\sum }_{i=1}^d{x}_i\cdot y_i$, $x,y\in {\mathbb{R}}^d$
2. $C[0,1]$ $(f,g):={\int }_0^{1}f\cdot g$
3. ${\ell }^2:=\left\{(x_n)\subset \mathbb{R}:{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ $(x,y):={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$

Biz.:

1. ${\ell }^2$ vektorter, $\lambda \in \mathbb{R},(x_n)\in {\ell }^2⟹(\lambda \cdot x_n)\in {\ell }^2$

$$(x_n),(y_n)\in {\ell }^2\sum _{n=1}^{\infty }|x_n+y_n{|}^2\le 2\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2+2\sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^2<\infty \text{ (szamtani, mertani kozep)}$$

$\sum x_n\cdot y_n\in R$:

$$\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{y}_n|\le \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^2<\infty$$

$⟹$ skalaris szorzas tulajdonsagai teljesulnek!! :)

Def.: Legyen $(\cdot ,\cdot ):X\times X\to \mathbb{R}$ skalaris szorzas, ekkor: $\Vert x\Vert :=(x,x{)}^{1/2}$ definicioval $(X,\Vert \cdot \Vert )$ normalt ter.

Biz.:

1. $\Vert x\Vert =0⟺x=0$

2. $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$
   $\Vert \lambda x\Vert =(\lambda x,\lambda x{)}^{1/2}=({\lambda }^2(x,x){)}^{1/2}=|\lambda |(x,x{)}^{1/2}=|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$

3. Kicsit kesobb belatjuk egy tetel kapcsan a haromszog egyenlotlenseget is.

All.: Legyen $(X,(\cdot ,\cdot ))$ egy skalaris szorzassal ellatot ter, ekkor

1. Teljesul a Cauchy-Schwartz-Bunyakovszkij egyenlotlenseg, azaz:

$$|(x,y)|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

2. Paralelogramma azonossag

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\cdot \Vert x{\Vert }^2+2\cdot \Vert y{\Vert }^2$$

3. Skalaris szorzas folytonos , azaz

$$x_n\to x,y_n\to y⟹(x_n,y_n)\to (x,y)$$

Biz.:
2. HF kiszamolni, csak definicioba be kell helyettesiteni.
1.
1. tfh $\Vert y\Vert =1$,

$$0\le \Vert x-(x,y)\cdot y{\Vert }^2=(x-(x,y)y,x-(x,y)y)=(x,x)-(x,y)(y,x)-(x,y)(x,y)+(x,y{)}^2\cdot (y,y)$$ $$=\Vert x{\Vert }^2-(x,y{)}^2⟹(x,y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2⟹|(x,y)|\le \Vert x\Vert \cdot 1$$

2.  ha $\| y \| \neq 1$ csak skalazzuk jol es keszen vagyunk

$y=t\cdot y^{\prime }$ $\Vert y^{\prime }\Vert =1$

$$|(x,t\cdot y^{\prime })|=|t(x,y^{\prime })|=|t|\cdot |(x,y^{\prime })|\le |t|\cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert y^{\prime }\Vert =\Vert x\Vert \cdot \Vert t{y}^{\prime }\Vert =\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

3. haromszog egyenlotlenseg

$$\frac{\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y,x+y)=(x,x)+(y,y)+2(x,y)=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2(x,y)\text{buildrel}\text{Cauchy Schwartz}}{\le \Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert =(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2}$$ $$⟹\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$

4. Folytonossag

$$|(x_n,y_n)-(x,y)|=|(x_n-x,y_n-y)+(x_n-x,y)+(x,y_n-y)|$$ $$\frac{\text{buildrel}\text{Cauchy Schwartz}}{\le \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y_n-y\Vert +\Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y\Vert +\Vert x\Vert \cdot \Vert y_n-y\Vert \to 0\text{ mert minden tag tart }0\text{-hoz}}$$

Hilbert-ter

Def.: Ha $(X,(\cdot ,\cdot ))$ Banach-ter a skalaris szorzat altal indukalt normara nezve, akkor $X$ Hilbert-ter.
Tehat, ha $\Vert x\Vert :=(x,x{)}^{1/2}$, tovabba ${\rho }_{\Vert \cdot \Vert }(x,y):=\Vert y-x\Vert$ metrikaval a $(X,{\rho }_{\Vert \cdot \Vert })$ metrikus ter teljes.

Azt mondjuk, hogy $(X,(\cdot ,\cdot ))$ Hilbert-ter, ha a skalaris szorzat altal indukalt norma altal indukalt metrikaval $X$ teljes metrikus ter.

peldak:

1. $({\mathbb{R}}^d,(\cdot ,\cdot ))$, $(x,y)=\sum x_i\cdot y_i$ $⟹\Vert x\Vert =(\sum |x_i{|}^2{)}^{1/2}=\Vert x{\Vert }_2$ Hilbert-ter

2. $({\ell }^2,(\cdot ,\cdot ))$ Hilbert-ter

Biz.: Lasd jegyzet…

3. $\left(C[0,1],{\int }_0^{1}fg\right)$ NEM Hilbert-ter!

$$\Vert f{\Vert }_2:={\left({\int }_0^1|f{|}^2\right)}^{1/2}$$

Ellenpelda, ugyanaz mint $C[0,1]$-ben volt $\Vert \cdot {\Vert }_1$-al.

Ortogonalitas

Def.: $x,y\in H$, $A,B\subset H$.

1. $x\perp y$, ha $(x,y)=0$
2. $x\perp A$, ha $\forall y\in A$-ra $(x,y)=0$
3. $A\perp B$, ha $\forall x\in A$ es $\forall y\in B$ -re $(x,y)=0$

Tetel (Meroleges vetitesrol).:

1. Legyen $K\subset H$ nem ures konvex, zart halmaz, legyen $x\in H$.
   Ekkor $\exists !y\in K$ ugy hogy $\Vert x-y\Vert \to \min$, vagyis ha $\mathrm{dist}(x,K):=\inf \{\Vert x-z\Vert :z\in K\}=\Vert x-y\Vert$
   Jel.: $y:=P_{K}x$, $P_K:H\to K$ Lipschitz tulajdonsagu $L\le 1$-el.
   (Azaz konvex zárt halmaztól vett távolság felvétetik.)

2. Legyen $K\subset H$ nemures, zart alter, $x\in H$, ekkor a fenti tulajdonsagu $y$ az az egyetlen vektor $K$-ban, amire $x-y\perp K$.
   Ilyenkor $P_K:H\to K$ linearis lekepezessel $y=P_{K}x$. Tovabba $P_K$ legfeljebb $1$ normaju.
   (Azaz merőleges vetítés zárt altérre,)

Biz.:

1. Legyen $d:=\mathrm{dist}(x,K)$. definicio szerint $\exists (y_n)\subset K:\Vert x-y_n\Vert \to d$
   Mutassuk meg, hogy $(y_n)$ Cauchy sorozat

$$\Vert y_n-y_m{\Vert }^2=\Vert y_n-x+x-y_m{\Vert }^2=2\cdot \Vert y_n-x{\Vert }^2+2\cdot \Vert x-y_m{\Vert }^2-\Vert y_n-x-(x-y_m){\Vert }^2$$ $$=\cdots +\cdots -4\cdot {\left|\left|\frac{y_n+y_m}{2}-x\right|\right|}^2\le 2\cdot \Vert y_n-x{\Vert }^2+2\cdot \Vert x-y_m{\Vert }^2-4\cdot d^2\to 2d^2+2d^2-4d^2=0$$

Mivel $H$ Hilbert-ter $⟹$ $\exists y=:\lim y_n\in K$ es $K$ zartsaga mitatt. Tovabba, $\Vert x-y_n\Vert \to \Vert x-y\Vert =d$.

2. Legyen $K$ zart alter, $x\in H$, $y$ a fenti vektor.
   Legyen $z\in K$ tetszoleges. Ekkor kell: $(x-y,z)=0$.

$$0\le \Vert x-(y+z){\Vert }^2\text{ mivel }(y+z)\in K\text{ ezert }=\Vert x-y{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2-2(x-y,z)\ge \Vert x-y{\Vert }^2$$ $$⟹\Vert z{\Vert }^2-2(x-y,z)\ge 0$$ $$⟹2(x-y,z)\le \Vert z{\Vert }^2$$

alkalmazzuk ezt $-z\in K$-ra:

$$-2(x-y,z)\le \Vert z{\Vert }^2$$ $$⟹2|(x-y,z)|\le \Vert z{\Vert }^2$$

Mivel $t\cdot z\in K$, $t\ge 0$

$$⟹2t|(x-y,z)|\le t^2\cdot \Vert z{\Vert }^2\to 0,\text{ ha }t\to 0$$ $$⟹(x-y,z)=0$$

3. Ha $x-y\perp K$ akkor $\Vert x-y\Vert =\min \{\Vert x-z\Vert :z\in K\}$.
   Legyen $z\in K$ tetszoleges. Ekkor

$$\Vert x-z{\Vert }^2=\Vert x-y+y-z{\Vert }^2=\Vert x-y{\Vert }^2+\Vert y-z{\Vert }^2+2(x-y,y-z)$$

Mivel $y-z\in K$ es $x-y\perp K$ ezert $(x-y,y-z)=0$
Tehat

$$\Vert x-z{\Vert }^2\ge \Vert x-y{\Vert }^2$$

related: TovFejAnal