TovFejAnal het 3

date: 2024.02.27

Def.: Legyen $D\subset H$ tetszoleges reszhalmaz. $D^{\perp }:=\{x\in H:x\perp D\}$ .

Áll.: $D^{\perp }$ mindig zart alter.

Biz.: Ha $x,y\in D^{\perp }$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, akkor $(\alpha x+\beta y,d)=\alpha (x,d)+\beta (y,d)=\alpha 0+\beta 0=0$.
Legyen $(x_n)\subset D^{\perp },x_n\to x\in H$, megmutatjuk, hogy $x\in D^{\perp }$.
Ehhez kell, hogy $d\in D$ eseten $(x,d)=0$.
Tudjuk, hogy $(x_n,d)=0\forall n$, $x_n\to x\stackrel{\text{sk. sz. folyt.}}{\Rightarrow }(x_n,d)\to (x,d)$.

Megj.: $D\cap D^{\perp }=\{0\}$ vagy $\varnothing$.

Tétel (Riesz-féle ortogonális felbontásról):

1. Legyen $M\subset H$, $M\ne \varnothing$ zart alter. Ekkor $\forall x\in H$ esetn $\exists !y\in M$ es $z\in M^{\perp }$: $x=y+z$
   Jel.: $H=M\oplus M^{\perp }$
2. Legyen $M\subset H$, $M\ne \varnothing$ valodi zart alter. Ekkor $\exists x\in H\setminus M:\mathrm{dist}(x,M)=\Vert x\Vert =1$

Biz.:

1. A fenti tetel masodik pontja miatt tudjuk, hogy tetszoleges $x\in H$-ra:

$$\exists P_{M}x\in M,x-P_{M}x\perp M$$

Legyen $y:=P_{M}x\in M$, $z:=x-P_{M}x\in M^{\perp }$.
Ezzel a jelolessel $x=y+z$
Meg kerdeses az egyertelmuseg.

$$x=y+z\stackrel{?}{=}{y}^{\prime }+z^{\prime }$$ $$⟹y-y^{\prime }=z^{\prime }-z,y-y^{\prime }\in M,z^{\prime }-z\in M^{\perp }$$ $$⟹y-y^{\prime }=0=z^{\prime }-z$$

Tehat az eloallitas egyertelmu!

2. Legyen $z\in H\setminus M$ tetszoleges vektor. Ekkor $$
   x := \frac{z - P_{m}z}{| z- P_{M} z | }, \quad \operatorname{dist}(x, M) = \frac{| z - P_{M}z | }{| z - P_{M}z | } = 1

### Normatl/Banach-terek revisited #### **Def***.: Legyen $(X, \| \cdot \|_{1})$, $(X, \| \cdot \|_{2})$ normalt terek. Azt mondjuk, hogy $\| \cdot \|_{1}$ es $\| \cdot \|_{2}$ *ekvivalensek*, ha $\exists c_{1}, c_{2} > 0: \; c_{1} \| x \|_{1} \leq \| x \|_{2} \leq c_{2} \| x \|_{1}, \quad \forall x \in X$. pl.: $(\mathbb{R}^{d}, \| \cdot \|_{p})$, $1 \leq p \leq \infty$ mind ekvivalens normak. Eleg: $\| \cdot \|_{p} \sim \| \cdot \|_{\infty}$, mivel ez ekvivalencia relacio, tehat tranzitiv is. #### **All***.: Ha $\| \cdot \|_{1} \sim \| \cdot \|_{2}$, $X$-en, akkor $(X, \| \cdot \|_{1})$ Banach-ter $\iff$ $(X, \| \cdot \|_{2})$ Banach-ter. ***Biz***.: Az ekvivalencia feltetel miatt $\| \cdot \|_{1}$ - Cauchy-sorozatok megegyeznek a $\| \cdot \|_{2}$ - Cauchy-sorozatokkal, es ugyanigy a konvergens sorozatok is. ### Ortonormalt sorozatok #### **Def***.: Egy $(e_{k}) \subset H$ *ortonormalt* sorozat, ha $e_{j} \perp e_{k}, \; j \neq k$ es $\| e_{j} \| = 1, \; \forall j$. peldak: 1. $\ell^{2} = \left\{ (x_{n}) \subset \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty}\lvert x_{n} \rvert^{2} < \infty \right\}$ $((x_{n}), (y_{n})) = \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}$

e_{k} = (0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots) \in \ell^{2}

A $k$-adik elem egyes. 2. $\left(C[a,b], \int _{a}^{b} fg\right), \quad \| f \|^{2} = \int _{a}^{b}\lvert f \rvert^{2}$ Euklideszi-ter, de nem Hilbert-ter. Ennek a teljesse tetele: $L^{2}(a, b), \quad f, g \in L^{2}(a,b): \; (f, g) = \int _{a}^{b}fg$ Megjegyzes: $C[a, b] \subset L^{2}(a,b)$ ### Trigonometrikus rendszerek $L^{2}(0,2\pi) := \left\{ f:[0,2\pi] \to \mathbb{R} : \int _{0}^{2\pi}\lvert f \rvert^{2} \, dx < \infty \right\}$ a) $L^{2}(0, 2\pi)$ (tetszoleges $2\pi$ hosszu intervallumon is mukodik).

e_{0} = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}, ; e_{2k -1} = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \sin (kt), ; e_{2k} = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \cos (kt), \quad k = 1, 2, \dots

b) $L^{2}(0, \pi)$ (tetszoleges $\pi$ hosszu intervallumon mukodik).

e_{k} = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sin(kt), \quad k = 1, 2, \dots

c) $L^{2}(0, \pi)$

e_{0} = \frac{1}{\sqrt{ \pi }}, ; e_{k} = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \cos(kt), \quad k = 1, 2, \dots

### **All***.: A fenti peldak ortonormalt sorozatok ***Biz***.: 1. Mindegyikre trivi. 2. a) $L^{2}(0, 2\pi)$

| e_{0} | ^{2} = \int _{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi} , dx = 1

| e_{2k-1} | ^{2} = \frac{1}{\pi} \int _{0}^{2\pi} \sin ^{2}(kt) , dt = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi}(1 - \cos(2kt)) , dt = 1 - \frac{1}{4k\pi}\left[ \sin(2kt) \right] _{0}^{2\pi} = 1

(e_{0}, e_{2k-1}) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int {0}^{2\pi}\sin(kt) , dt = 0 = (e{0}, e_{2k})

(e_{2k-1}, e_{2j}) = \frac{1}{\pi} \int _{0}^{2\pi} \sin(kt) \cdot \cos(jt) , dt = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi} \sin((k+j)t) + \sin((k-j)t) , dt = 0 + 0 = 0

(e_{2k-1}, e_{2j-1}) = \frac{1}{\pi} \int _{0}^{2\pi} \sin(kt) \cdot \sin(jt) , dt = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi} \cos((k-j)t) - \cos((k+j)t) , dt = 0 - 0 = 0

(e_{2k},e_{2j}) = \text{HF}

b) $L^{2}(0, \pi)$

e_{k} = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sin(kt), \quad k = 1, 2, \dots

| e_{k} | ^{2} = 1 \quad \text{HF}

(e_{k}, e_{j}) = \frac{2}{\pi} \int _{0}^{\pi} \sin(kt) \cdot \sin(jt) , dt = \frac{1}{\pi} \int {0}^{\pi} \cos((k-j)t) - \cos((k+j)t) , dt = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin((k-j)t)}{k-j} - \frac{\sin((k+j)t)}{k+j} \right]{0}^{\pi} = 0

c) Ugyanigy HF #### **All***.: Legyenek $(e_{k})$ ortonormalt sorozat $H$-ban. 1. Legyen $M := \operatorname{span} \langle e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n} \rangle$. Legyen $x \in H$ tetszoleges. Ekkor

P_{M}x = \sum_{j = 1}^{n}(x,e_{j}) \cdot e_{j}

2. *Bessel-egyenloseg*: $\forall x \in H, \; \forall n \in \mathbb{N}$

\left\lvert \left\lvert x - \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} = | x | ^{2} - \sum_{j=1}^{n}\lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2}

3. *Bessel-egyenlotlenseg*: $\forall x \in H$ eseten

\sum_{j=1}^{n}\lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2} \leq | x | ^{2}

(x, e_{j}) \text{ neve: } j\text{-edik Fourier egyutthato}

\implies \sum_{j=1}^{n} \lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2} \text{ konverges}

4. Legyen $(c_{j}) \subset \mathbb{R}$. Ekkor

\sum c_{j} \cdot e_{j} \text{ konvergens } H \text{-ban} \iff \sum_{j=1}^{\infty} \lvert c_{j} \rvert ^{2} < \infty \iff (c_{j}) \in \ell^{2}

#### **Lemma***: Ha $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in H$ vektorok paronkent ortogonalisak, akkor

| x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} | ^{2} = | x_{1} | ^{2} + \dots + | x_{n} | ^{2}

$$\ast \ast \ast Biz\ast \ast \ast .:$$

| x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} | ^{2} = \sum_{j = 1} ^{n} \sum_{k = 1}^{n}(x_{j}, x_{k}) = | x_{1} | ^{2} + \dots + | x_{n} | ^{2}

$$\ast \ast \ast Allitasbizonyitasa\ast \ast \ast :1.$$

\sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \in M

Kell, hogy $x- \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \perp M$ Skalaris szorzat linearitasa miatt eleg, hogy $\forall k = 1, 2, \dots, n: \; x- \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \perp e_{k}$

\left(x- \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} , e_{k} \right) = (x, e_{k}) - \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j})(e_{j}, e_{k}) = (x, e_{k}) - (x, e_{k})(e_{k}, e_{k}) = 0

2. Legyen $x \in H$ tetszoleges.

| x | ^{2} = \left\lvert \left\lvert x - \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} + \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert

Mivel $\sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \in M$ es $x - \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \perp M$ ezert a fenti tovabb egyenlo

= \left\lvert \left\lvert x - \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} + \left\lvert \left\lvert \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} = \left\lvert \left\lvert x - \sum_{j = 1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} + \sum_{j=1}^{n}\lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2}

$$3.Kovetkezik2.-bol$$

\forall n : ; \sum_{j=1}^{n}\lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2} \leq | x | ^{2} \implies \sum_{j=1}^{\infty}\lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2} \leq | x | ^{2}

$$4.$$

\left( \sum_{j = 1} ^{n} c_{j} \cdot e_{j} \right)_{n \in \mathbb{N}} \subset H \text{ konvergens } \iff \text{ Cauchy-sorozat}

\iff \left\lvert \left\lvert \sum_{j = m + 1}^{n}c_{j} \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} = \sum_{j = m+1}^{n}\lvert c_{j} \rvert ^{2} < \varepsilon, \quad n, m \geq N \iff \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert c_{j} \rvert ^{2} < \infty

### **Tetel***: Legyen $(e_{k}) \subset H$ ortonormalt. Ekkor ekvivalensek a kovetkezok: i) Fourier-sor eloallitas teljesul, vagyis $\forall x \in H$

x = \sum_{j=1}^{\infty}(x, e_{j}) \cdot e_{j}

ii) *Parseval-egyenloseg*: $\forall x \in H$ eseten

| x | ^{2} = \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2}

iii) Ha $y \perp e_{j} \quad \forall j = 1, 2, \dots$, akkor $y = 0$. ***Biz***.: i) $\implies$ ii)

x = \sum_{j=1}^{\infty}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \iff \left\lvert \left\lvert x - \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} \to 0, \quad n \to \infty

\left\lvert \left\lvert x - \sum_{j=1}^{n}(x, e_{j}) \cdot e_{j} \right\rvert \right\rvert ^{2} \text{ Bessel egyenloseg miatt } = | x | ^{2} - \sum_{j = 1}^{n} \lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2}

$$Tehatafenti$$

\iff | x | ^{2} - \sum_{j = 1}^{n} \lvert (x, e_{j}) \rvert ^{2} \to 0, \quad n \to \infty

i) $\implies$ iii) Legyen $y = \sum_{j=1}^{\infty}(y, e_{j}) \cdot e_{j}$ de mivel feltetel miatt $(y, e_{j}) = 0, \; \forall j$ ezert $y = 0$ iii) $\implies$ i) Legyen $x \in H$ tetszoleges. Kell, hogy $x = \sum_{j = 1}^{\infty} (x, e_{j}) \cdot e_{j}$. Tudjuk

\left( x - \sum_{j = 1}^{\infty} (x, e_{j}) \cdot e_{j}, ; e_{k} \right) = (x, e_{k}) - \sum_{j=1}^{\infty} (x,e_{j}) \cdot (e_{j}, e_{k}) = (x, e_{k}) - (x, e_{k}) = 0 \quad \forall k = 1, 2, \dots

iii) $\implies$ $x - \sum_{j = 1}^{\infty} (x, e_{j}) \cdot e_{j} = 0$ #### **Def**.: $(e_{k}) \subset H$ ortonormalt sorozat *teljes ortonormalt sorozat (TONS)* vagy **ortonormalt bazis (ONB)**, ha a fenti tetel harom allitasa kozul az egyik teljesul. related: [[TovFejAnal]]