Kontrakciónak egyértelű a fixpontja

áll

Áll.: Adott $(X,\rho )$ metrikus tér, $f:(X,\rho )\to (X,\rho )$ kontrakció.
Ekkor legfeljebb egy fixpontja lehet.

Biz.:
Tegyük föl, hogy $x_1,x_2$ is fixpontjai $f$-nek, azaz $f(x_1)=x_1,f(x_2)=x_2$.
Ekkor a lemma miatt:

$$\rho (x_1,x_2)\le \frac{1}{1-K}\left(\rho (x_1,f(x_1))+\rho (x_2,f(x_2))\right)=\frac{1}{1-K}\left(\rho (x_1,x_1)+\rho (x_2,x_2)\right)=\frac{1}{1-K}\left(0+0\right)$$ $$⟹\rho (x_1,x_2)\le 0⟹x_1=x_2$$

Dependencies:

• Fundamentális kontrakciós egyenlőtlenség
• Metrikus tér
• Kontrakció