TovFejAnal het 9

date: 2024.04.23

Emlek:

• nullahalmaz

• majdnem mindenutt

• integralhato fv-ek ($C_2$)

  1. $C_0$ lepcsos fv-ek halmaza (vektortere)
  2. $C_1$ m.m. monoton novo lepcsos fv-ek hatarertekeinek halmaza (nem VT)
  3. $C_2$ integralhato fv-ek vektortere, azon fv-ek halmaz, melyek eloallnak ket $C_1$-beli kulombesegekent

• Beppo-Levi tetel

Beppo-Levi tetel bizonyitasanak elso lepese:

1. Ha $(f_n)\subset C_1$ ekkor megmutatjuk, hogy $\exists f\in C_1$ ugy, hogy $f_n\to f$ m.m. es $\int f_{n}dx\to \int fdx$

$$f_1\le f_2\le \cdots \le f_n\le \le \dots$$ $$\begin{array}{rl}{\phi }_{11}\le {\phi }_{12}\le {\phi }_{13}\le \dots & \to f_1\\ {\phi }_{21}\le {\phi }_{22}\le {\phi }_{23}\le \dots & \to f_2\\ & ⋮\\ {\phi }_{n1}\le {\phi }_{n2}\le {\phi }_{n3}\le \dots & \to f_n\end{array}$$ $${\phi }_n:=\underset{1\le i,l\le n}{\max }{\phi }_{ik},n\in \mathbb{N}$$

Tehat ${\phi }_n$ a bal felső $n\times n$ -es negyzet maximuma a fenti align environmentben.

Megallapithatjuk, hogy ezek a ${\phi }_n$-ek is lepcsos fv-ek, mert lepcsos fv-ek maximuma is lepcsos fv:
Belathato az is, hogy ${\phi }_n\le {\phi }_{n+1}$ m.m. $\forall n\in \mathbb{N}$
Masreszt az is belathato, hogy az integraljaik felulrol korlatosak, azaz
$\int {\phi }_{n}dx\le A$ ez igaz, minden ${\phi }_{ik}\le f_i$ $\forall i,k$ $⟹\int {\phi }_{ik}dx\le \int f_{i}dx\le A$
2.Lemma miatt $\exists f\in C_1$ fv ugy, hogy ${\phi }_n\to f$ m.m. es $\int {\phi }_{n}dx\to \int fdx$
Nekunk az kell, hogy $f_n\to f$ m.m. es $\int f_{n}dx\to \int fdx$
Tudjuk, hogy ${\phi }_{ik}\le {\phi }_k$ ha $1\le i\le k$ ahol ${\phi }_k={\max }_{1\le i,j\le k}{\phi }_{ij}$
$k\to \infty$ ekkor $f_i\le f\forall i$

Masreszt, ${\phi }_n\le f\forall n$ ugyanis ${\phi }_{ik}\le f_i\le f_n\forall 1\le i,k\le n$
Vegyuk ezen ${\phi }_k$-knak a maximumat: ${\max }_{1\le i,k\le n}={\phi }_n\le f_n$
Tehat az elozo ket egyenlotlensegbol kovetkezik, hogy ${\phi }_n\le f_n\le f\forall n$
Most tartsunk $n$-el vegtelenbe: $n\to \infty$ es igy a rendorelv ertelmeben $f_n\to f$ m.m., mert ${\phi }_n\to f$ m.m. es $f\to f$ $⟹f_n\to f$

Masreszt az integral monotonitasa miatt $\int {\phi }_{n}dx\le \int f_{n}dx\le \int fdx$ m.m.
Megint $n$-el tartunk $\infty$-be es megint a rendor elv miatt $\int f_{n}dx\to \int fdx$

Megjegyzes: A masodik lepes az lenne, hogy $(f_n)\subset C_2$ de ezt nem latjuk be

Kovetkezmenyek:

1. Legyen $(f_n)$ integralhato fv-ek m.m. monoton novo sorozata, amelyekhez $\exists f\in C_2$ ugy, hogy $f_n\to f$ m.m.
   Ekkor $\int f_{n}dx\to \int fdx$

2. Legyen $\sum f_n$ integralhato fv-ekbol allo sor, tegyuk fel, hogy $\sum \int |f_n|dx$ konvergens.
   Ekkor $\exists f\in C_2$ ugy, hogy $\sum f_n=f$ es $\sum \int f_{n}dx=\int \sum f_{n}dx=\int fdx$

3. Ha $f$ olyan integralhato fv, hogy $\int |f|dx=0$ akkor $f=0$ m.m.

Biz.:

1. Mivel $f_n\nearrow f$ m.m. $⟹f_n\le f$ m.m. $\forall n$ $⟹\int f_{n}dx\le \int fdx$ $\forall n$
   Ezert legyen $A:=\int fdx$ es igy a Beppo-Levi tetel feltetelei teljesulnek es keszen is vagyunk

2. $f_n\ge 0$ $s_n={\sum }_{k=1}^n{f}_k$ m.m. monoton novo $⟹\int s_{n}dx\le {\sum }_{k=1}^{\infty }\int |f_k|dx$ es igy a Beppo-Levi tetlbol kovetkezik, hogy $s_n\to f$ m.m. es $\int s_{n}dx={\sum }_{k=1}^n\int f_{k}dx\to \int fdx$
   (altalanosan nem bizonyitjuk)

3. Alkalmazzuk a második pontot:
   $f_n=f$ $\forall n\in \mathbb{N}$ igy $\sum \int |f_n|dx=\sum 0=0$ ekkor a masodik pont ertelmeben ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }f⟹f\equiv 0$ m.m.

Lebesgue-dominalt konvergencia tetele

Legyen $(f_n)\subset C_2$ integralhato fv-ek sorozata, amelyekre igaz, hogy $f_n\to f$ m.m. (figyelem: itt $f$ -rol nem teszunk fel semmit)
(a fenti feltetel annyit jelent, hogy ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)\in \mathbb{R}$ m.m.)

Tegyuk fel, hogy $\exists g\in C_2$ integralhato fv ugy, hogy $|f_n|\le g$ m.m. $\forall n\in \mathbb{N}$ (azaz a sorozat minden tagja egyenletesen majoralhato egy integralhato fv-el)
Ekkor $f$ is integralhato es $\int f_{n}dx\to \int fdx$

Megjegyzes: A fenti majoralasi kriterium nagyon fontos!
pelda:
Legyen $f_n={\chi }_{[n,n+1]}$ $n\in \mathbb{N}$ ekkor konnyen lathato, hogy az elso feltetel teljesul, mert ez pontonkent tart $0$-hoz, de $\int f_{n}dx=1$ $\forall n\in \mathbb{N}$ es ez nem tart $\int 0dx$-hoz. Ez azert van, mert nem letezik integralhato majorans (az azonosan $1$ fuggveny majorans lenne de ez nem integralhato).

Bizonyitas:
Alkalmazni akarjuk a Beppo-Levi tetelt, ezert letre kell hoznunk egy monoton novo integralhato fv-ek sorozatat.
Legyen $g_n:=\sup \{f_n,f_{n+1},\dots \}$ ez eppen egy monoton csokkeno sorozat es $g_n\searrow f$ m.m
Legyen rogzitett $n$-re $g_{nm}:=\max \{f_n,f_{n+1},\dots ,f_m\}$, $m\ge n$ (ezek integralhato fv-ek)

$$g_{n,m}\le g_{n,m+1}\forall m\ge n$$ $$g_{n,m}\nearrow g_n,m\to \infty \text{ (definiciobol)}$$ $$g_{n,m}\le g_n\le g⟹\int g_{n,m}dx\le \int |f_n|dx\le \int gdx$$

Mostmar alkalmazhato a Beppo-Levi tetel $⟹g_n$ integralhato es $\int g_{n,m}d{x}_{>}\int g_{n}dx$ (ez minden $n$-re igaz)

Mivel fent lattuk, hogy $g_n\searrow f$ ezert $-g_n\nearrow -f$ ezert megprobaljuk a Beppo-Levi tetelt alkalmazni a $-g_n$ sorozatra

A feltetelbol kovetkezik, hogy $|g_n|\le g⟹-g_n\le g⟹\int -g_{n}dx\le \int gdx$
Beppo-Levi $⟹$ $-f$ integralhato $⟹$ $f$ is es $\int g_{n}dx\to \int fdx$

Ahhoz, hogy belassuk, hogy $\int f_{n}dx\to \int fdx$ vigyuk vegig ugyanezt a $h_n:=\inf \{f_n,f_{n+1},\dots \},n\in \mathbb{N}$ fuggvenysorozattal. Itt $h_n\nearrow fn\to \infty$ Eljatszva ugyanezt a kettos indexes undormanyt megkapjuk, hogy $\int h_{n}dx\to \int fdx$
Vegul azt kapjuk, hogy $h_n\le f_n\le g_n$. Kihasznalva az integral monotonitasat azt kapjuk, hogy $\int h_{n}dx\le \int f_{n}dx\le \int g_{n}dx$ es a rendorelv ertelmeben keszen vagyunk.

pelda:
Legyen

$$f_n(x):=\frac{n\cdot \sin \frac{x}{n}}{x\cdot (1+x^2)},x\ne 0,n\in {\mathbb{N}}^{+}$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin \frac{x}{n}}{\frac{x}{n}}\cdot \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}=f(x)$$ $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }1}{1+x^2}dx=\underset{t\to \infty }{\lim }\arctan t-\underset{t\to -\infty }{\lim }\arctan t=\pi$$ $$|f_n|\stackrel{?}{\le }g$$

Hasznaljuk ki, hogy $|\sin x|\le |x|$

$$|f_n(x)|\le \frac{n\cdot \frac{|x|}{n}}{|x|\cdot (1+x^2)}=\frac{1}{1+x^2}=g(x)=f(x)$$

Lebesgue-dom tetelbol kovetkezik, hogy

$$\int f_n(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{n\cdot \sin \frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx\to \pi$$

Riesz-Fischer-tetel

Legyen $(f_n)$ integralhato fv-ek sorozata ugy, hogy $\int |f_n-f_m|dx\to 0$ ha $n,m\to \infty$.
Ekkor $\exists f$ integralhato fv ugy, hogy $\int |f_n-f|dx\to 0$ ha $n\to \infty$

Megjegyzes: Ha vesszuk a $C_2$ teret es azon vesszuk az $\Vert \cdot {\Vert }_1$ fuggvenyt, akkor $f\in C_2$ -re $\Vert f{\Vert }_1=\int |f|dx$ egy norma

1. $\Vert f{\Vert }_1=0⟺f=0$ m.m.
2. $\Vert \lambda f{\Vert }_1=|\lambda |\Vert f{\Vert }_1$
3. $\Vert f+g{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_1+\Vert g{\Vert }_1$
   $|f+g|\le |f|+|g|$ es az integral monotonitasabol kovetkezik a haromszog egyenlotlenseg

Tehat a fenti Riesz-Fischer-tetel azt jelenti, hogy $(C_2,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ Banach-ter! Mivel a Riesz-Fischer tetel az elobb bevezetett $\Vert \cdot {\Vert }_1$ normavala a kovetkezokeppen fogalmazhato meg:
Ha $\Vert f_n-f_m{\Vert }_1\to 0$ ha $n,m\to \infty$ akkor $\Vert f_n{\Vert }_1\to f$ (vagy $f_n\stackrel{\Vert \cdot {\Vert }_1}{\to }f$)

related: TovFejAnal