Bayes halok

Bayes halok mire jok?

• Megtortent egy esemeny es tudni szeretnenk hogy egy elozo esemeny mennyit jatszott ennek a megtorteneseben.
• Megtortent egy esemeny es szeretnenk tudni, hogy egy masik mennyi valoszinuseggel fog bekovetkezni.

Alkalmazasok

• tunetek → betegsegek
• dokumentum klasszifikacio
• spam filter

Markov takaró

Motiváció: Adott egy esemény, amitől feltételesen függ a maradék gráf. Melyik csúcsokat kell felfedni ahhoz, hogy feltételesen független legyen a gráftól.

Definíció: Egy $D(V,A)$ irányított gráfnak $\alpha \in V$ csúcsnak markov takarója a $\mathcal{N}(\alpha ),\mathrm{sz}(\alpha ),\mathcal{N}(\mathrm{sz}(\alpha ))$. Ahol $\mathrm{sz}(v)$ azon csúcsok jelöli, melyek szülői $v$-nek és $\mathcal{N}(v)$ azon csúcsokat jelöli, melyek szomszédai $v$-nek, tehát megy beléjük él $v$-ből.

Állítás: $\alpha \in V$ csúcsnak a markov takarójában lévő csúcsokat kell ahoz tudni, hogy $\alpha$ feltételesen független legyen a gráftól.
Bizonyítás: (csak vázlatosan)
jelölés $\mathbb{P}(V)=\mathbb{P}(x_1,\dots ,x_n)$

$$\mathbb{P}(\alpha \mid V\setminus \{\alpha \})=\frac{\mathbb{P}(V)}{\sum _{\alpha }\mathbb{P}(V)}=\frac{\prod _{j=1}^n\mathbb{P}(x_j\mid \mathrm{sz}(x_j))}{\sum _{\alpha }\prod _{j=1}^n\mathbb{P}(x_j\mid \mathrm{sz}(x_j))}$$

Észrevétel: $\alpha$ szerepel a $\mathbb{P}(\mathcal{N}(\alpha )\mid \mathrm{sz}(\mathcal{N}(\alpha )))$ tényezőben és a $\mathbb{P}(\alpha |\mathrm{sz}(\alpha ))$ tényezőben a nevezőben, minden mással lehet egyszerűsíteni. Tehát $\mathbb{P}(\alpha |V\setminus \{\alpha \})$ csak a $\mathcal{N}(\alpha ),\mathrm{sz}(\alpha ),\mathcal{N}(\mathrm{sz}(\alpha ))$ csúcsoktól függ, azaz $\alpha$ markov takarójától.