TovFejAnal het 8

date: 2024.04.16

Mertek es integralelmelet

Lebesgue-integral

Riemann-integrallal van nehany problema:

• Csak korlatos es zart intervallumon ertelmezett fugvenyeken ertelmezett
  ellenpelda nem Riemann integralhato fuggvenyre: Dirichlet-fuggveny

Ha $f_n\to f$ pontonkent es feltesszuk, hogy $f_n$ Riemann integralhato minden $n$-ra, akkor nem feltetlenul kovetkezik, hogy $f$ Riemann integralhato, sot az sem feltetlenul kovetkezik, hogy ${\int }_a^b{f}_{n}dx\to {\int }_a^{b}fdx$

Ha $f_n\to f$ egyenletesen, akkor mar teljesen mas a helyzet.

Definicio (nullahalmaz)

$A\subset \mathbb{R}$ azt mondjuk, hogy $A$ nullahalmaz, ha $\forall \epsilon >0$ eseten $\exists I_{n,\epsilon }$ intervallumsorozat amelyre $\sum |I_{n,\epsilon }|<\epsilon$ es $A\subset \bigcup I_{n,\epsilon }$

peldak nullahalmazokra:

1. $A=\varnothing$
2. $A\subset \mathbb{R}$, $A$ megszamlalhato
   Biz.: $A=\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$ adjunk egy $\epsilon >0$ -t es fedjuk be a halmazt a kovetkezokeppen:

$$I_{n,\epsilon }:=\left(a_n-\frac{\epsilon }{2\cdot 3^n},a_n+\frac{\epsilon }{2\cdot 3^n}\right)n\in \mathbb{N}$$

nyilvanvalo, hogy $A\subset \cup I_{n,\epsilon }$

$$\sum _{n=1}^{\infty }|I_{n,\epsilon }|=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{3^n}=\epsilon \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n}=\frac{\epsilon }{2}<\epsilon$$

3. $C$ Cantor-halmaz
   $C_n$ halmaz az $n$-edik lepesben elojovo halmaz $C_n\subset A_n$, ahol $A_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ osszhosszu veges sok intervallum. Tehat akkor $C\subset A_n$ es ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n<\epsilon$ ha $n$ elegge nagy

Allitas

1. Legyen $A_n,n\in \mathbb{N}$ nullahalmaz. Ekkor $\cup A_n$ is nullahalmaz.
2. Ha $I$ nem elfajulo intervallum (nem egy pontu vagy ures), akkor $I$ nem nullahalmaz.

Bizonyitas:

1. Legyen $\epsilon >0$ adott. Kell: $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ intervallumrendszer, ahol $\cup A_n=:A\subset \cup I_n$ es $\sum |I_n|<\epsilon$
   Tudjuk, hogy $A_n$ nullahalmaz, ezert $\exists (I_{n,k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ ugy, hogy $A_n\subset {\cup }_{k=1}^{\infty }{I}_{n,k}$ es ${\sum }_{k=1}^{\infty }|I_{n,k}|<\frac{\epsilon }{2^n}$

$$\{I_n:n\in \mathbb{N}\}:=\{I_{n,k}:k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}$$

vilagos, hogy $A\subset I_n$ es $\sum |I_n|=\sum \sum |I_{n,k}|<\sum \frac{\epsilon }{2^n}<\epsilon$

2. $\varnothing$ biz.

Definicio

Azt mondjuk, hogy az $\mathbb{R}$ egy tulajdonsaga $T(x)$ tulajdonsaga majdnem mindenutt (m.m.) ha $A:=\{x\in \mathbb{R}:\neg T(x)\}$ nullahalmaz

Definicio

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. azt mondjuk, hogy $f=g$ m.m. ha $\{x\in \mathbb{R}:f(x)\ne g(x)\}$ nullahalmaz.

Pelda: A Dirichlet-fuggveny $D=0$ m.m., mert csak a racionalis helyeken nem nulla es a racionalis szamok nullahalmazt kepeznek.

Definicio

$\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lepcsos fuggveny, ha $\exists x_0<x_1<\cdots <x_n\in \mathbb{R}$ ugy, hogy

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}0& x<x_0\\ c_1& x_0<x<x_1\\ ⋮& \\ c_n& x_{n-1}<x<x_n\\ 0& x>x_n\end{array}$$

majdnem mindenutt.
(Megj. ha $x=x_k$ nincsen $\phi (x)$ definialva, de mivel csak m.m. szamit ezert ezekben a pontokban lehet barmi az ertek mert ugyis nullahalmazon barmi lehet)

Legyen $C_0:=\{\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid \phi \text{ lepcsos fuggveny}\}$

Definicio

Ha $\phi \in C_0$, akkor $\int \phi dx={\int }_{\mathbb{R}}\phi dx={\sum }_{i=1}^n{c}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$

Allitas

1. Ha $\phi \in C_0$ akkor $\int \phi dx$ erteke nem fugg az $x_i$-k megvalasztasatol
2. $C_0$ vektorter
3. ${\phi }_1,{\phi }_2\in C_0$ es $c\in \mathbb{R}$ akkor $\int ({\phi }_1+{\phi }_2)dx=\int {\phi }_{1}dx+\int {\phi }_{2}dx$ es $\int (c\cdot \phi )dx=c\int \phi dx$ (azaz az integral linearis a lepcsos fuggvenyek vektorteren)
4. Ha $\phi ,\psi \in C_0$ es $\phi \le \psi$ m.m., akkor $\int \phi dx\le \int \psi dx$
   (A linearitas miatt $\int \phi dx\le \int \psi dx⟺\phi \ge 0⟹\int \phi dx\ge 0$)

Bizonyitas: $\varnothing$ biz.

1. Lemma (Dini-tetele)

Ha $({\phi }_n)\subset C_0$ olyan amelyre ${\phi }_n$ monoton csokkeno modon tart $0$-hoz m.m (${\phi }_n\searrow 0$ m.m.), akkor $\int {\phi }_{n}dx\to 0$

Bizonyitas: $\varnothing$ biz.

2. Lemma

Legyen $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset C_0$ olyan, amely m.m. monoton novo, es $\int {\phi }_{n}dx\le A,\forall n$
Ekkor

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(x)=f(x)\text{ m.m. veges}$$

Bizonyitas:
Legyen $E_0:=\{x\in \mathbb{R}:{\phi }_n(x)\to \infty \}$ Kell: $E_0$ nullahalmaz
Legyen $\epsilon >0$ adott, az a cel, hogy $E_0$-t fedjuk
Felteheto, hogy ${\phi }_n\ge 0$ m.m., kulonben csereljuk ki ${\phi }_n$-t ${\phi }_n-{\phi }_1\ge 0$-ra ($⟹A\ge 0$)

$$E_{n,\epsilon }:=\left\{x\in \mathbb{R}:{\phi }_n(x)>\frac{A}{\epsilon }\right\}$$

Azt allitom, hogy

$$E_0\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_{n,\epsilon }$$

a vegtelenhez tartas definicioja miatt, ha $x$ olyan, hogy ${\phi }_n(x)\to \infty$, akkor $\exists N_{\epsilon }$ kuszobindex, melyre $\forall n\ge N_{\epsilon }$ eseten ${\phi }_n(x)>\frac{A}{\epsilon }$

$$E_{n-1,\epsilon }\subset E_{n,\epsilon }$$

illetve ${\phi }_n(x)\ge {\phi }_{n-1}(x)$ m.m.
Tekintsuk a kovetkezo halmazt:

$$E_{n,\epsilon }\setminus E_{n-1,\epsilon }$$

Mivel k${\phi }_n$-ek lepcsos fv-ek, ezert

$$E_{n,\epsilon }\setminus E_{n-1,\epsilon }=\bigcup _{k=1}^{K_n}{I}_{n,k}$$

veges sok intervallum unioja

$$E_{1,\epsilon }=\bigcup _{k=1}^{K_1}{I}_{1,k}$$

belatjuk a kovetkezot: tetszoleges $m\in \mathbb{N}$ eseten ha vesszuk a ${\sum }_{n=1}^m{\sum }_{k=1}^{K_n}|I_{n,k}|<\epsilon$

$$\sum _{n=1}^m\sum _{k=1}^{K_n}\frac{A}{\epsilon }\cdot |I_{n,k}|\le {\int }_{E_{1,\epsilon }}{\phi }_{1}dx+\sum _{n=2}^m{\int }_{E_{n,\epsilon }\setminus E_{n-1,\epsilon }}{\phi }_{n}dx\le {\int }_{E_{1,\epsilon }}{\phi }_{m}dx+\sum _{n=2}^m{\int }_{E_{n,\epsilon }\setminus E_{n-1,\epsilon }}{\phi }_{m}dx\le {\int }_{\mathbb{R}}{\phi }_{m}dx\le A$$

ahol

$${\int }_A\phi dx={\int }_{\mathbb{R}}\phi \cdot {\chi }_{A}dx$$ $$⟹\sum _{n=1}^m\sum _{k=1}^{K_n}|I_{n,k}|<\epsilon \forall m⟹\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{K_n}|I_{n,k}|<\epsilon$$

masreszt konstrukciobol kovetkezik, hogy

$$E_0\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_{n,\epsilon }\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{K_n}{I}_{n,k}$$

Definicio

Legyen $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset C_0$ m.m. monoton novo sorozat, amelyre $\int {\phi }_{n}dx\le A$ (az ilyen sorozatokat “jo $C_0$-sorozatnak” hivjuk)
A fenti lemma szerint $\exists {\lim }_{n\to \infty }{\phi }_n(x)=f(x)\in \mathbb{R}$ ami veges m.m.
Ekkor az $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fuggveny $C_1$-beli es

$$\int fdx:=\underset{n\to \infty }{\lim }\int {\phi }_{n}dx\in \mathbb{R}$$

Bizonyizas: (Hogy ez az integral tenyleg veges)
${\phi }_{n-1}\le {\phi }_n$ m.m. $⟹$ $\int {\phi }_{n-1}dx\le \int {\phi }_{n}dx\le A$ tehat ${\lim }_{n\to \infty }\int {\phi }_{n}dx$ veges mert monoton korlatos sorozatnak van hatarerteke.

Allitas

1. Ha $f\in C_1$ akkor $\int fdx$ erteke nem fugg a jo $C_0$-beli kozelito sorozat valasztasatol.
2. Ha $f\in C_0$ akkor a fenti integral ugyanazt adja, mint a lepcsos fuggveny integraljanak a definicioja.
3. Ha $f\in C_1$ es $f=g$ m.m. akkor $g\in C_1$ es $\int fdx=\int gdx$
4. Ha $f,g\in C_1$ olyanok, hogy $f\le g$ m.m. akkor $\int fdx\le \int gdx$
5. Ha $f,g\in C_1$ akkor $f+g\in C_1$ es $\int f+gdx=\int fdx+\int gdx$
6. Ha $f\in C_1$ es $c\ge 0$ akkor $c\cdot f\in C_1$ es $\int c\cdot fdx=c\cdot \int fdx$
   (Tehat $C_1$ nem vektorter)

Bizonyitas: 1, 4 $\varnothing$ biz.
2. Az 1., miatt legyen ${\phi }_n:=f,n\in \mathbb{N}$
3. $f=g$ m.m. $⟹$ ha $({\phi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $f$-hez, akkor ugyanez a $({\phi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $g$-hez
5. 6. Ha $({\phi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $f$-hez es $({\psi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $g$-hez es $c\ge 0$ akkor $({\phi }_n+{\psi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $f+g$ -hez es $(c\cdot {\phi }_n)$ jo $C_0$-beli sorozat $c\cdot f$ -hez. Tovabba

$$\int ({\phi }_n+{\psi }_n)dx=\int {\phi }_{n}dx+\int {\psi }_{n}dx\to \int fdx+\int gdx=\int (f+g)dx$$ $$\int (c\cdot {\phi }_n)dx=c\cdot \int {\phi }_{n}dx\to c\cdot \int fdx\int (c\cdot f)dx$$

Definicio

Azt mondjuk, hogy $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ integralhato vagy $C_2$-beli, ha $f=f_1-f_2$ ahol $f_1,f_2\in C_1$. Ekkor

$$\int fdx:=\int f_{1}dx-\int f_{2}dx$$

Allitas

1. $C_2$ vektorter
2. $\int fdx$ nem fugg $f_1$ es $f_2$ valasztasatol
3. Ha $f\in C_2$ es $f=g$ m.m. akkor $g\in C_2$ es $\int fdx=\int gdx$
4. Ha $f,g\in C_2$ es $f\ge g$ m.m. akkor $\int fdx\ge \int gdx$

Bizonyitas:

1. Legyen $f=f_1-f_2$ es $g=g_1-g_2$ ($f,g\in C_2$, $f_1,f_2,g_1,g_2\in C_1$)
   Ekkor $f+g=(f_1+g_1)-(f_2+g_2)$ es $(f_1+g_1),(f_2+g_2)\in C_1$
   Ha $c\ge 0$ es $f\in C_2$ es $f=f_1-f_2$ ahol $f_1,f_2\in C_1$ ekkor $c\cdot f=c\cdot f_1-c\cdot f_2$ ahol $(c{f}_1),(c{f}_2)\in C_1$ ezert $(cf)\in C_2$
   Ha $c<0$ es $f\in C_2$ es $f=f_1-f_2$ ahol $f_1,f_2\in C_1$ ekkor $c\cdot f=(-c{f}_2)-(-c{f}_1)$ ahol $(-c{f}_2),(-c{f}_1)\in C_1$ ezert $(cf)\in C_2$

2. Legyen $f=f_1-f_2=g_1-g_2$ ahol $f_1,f_2,g_1,g_2\in C_1$

$$⟹f_1+g_2=g_1+f_2$$

ahol $(f_1+g_2),(g_1+f_2)\in C_1$

$$⟹\int f_1+g_{2}dx=\int f_{1}dx+\int g_{2}dx=\int g_{1}dx+\int f_{2}dx=\int (g_1+f_2)dx$$ $$⟹\int f_{1}dx-\int f_{2}dx=\int g_{1}dx-\int g_{2}dx$$ $$⟺\int fdx=\int gdx$$

3. Ha $f\in C_2$ es $f=g$ m.m. es $f=f_1-f_2$ ahol $f_1,f_2\in C_1$ akkor $g=f_1-f_2$ m.m.
4. $\varnothing$ biz. (szamolos)

Beppo-Levi tetel

Legyen $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset C_2$ integralhato fuggvenyek sorozata m.m. monoton novo, es $\int f_{n}dx\le A\forall n\in \mathbb{N}$. Ekkor $\exists f\in C_2$ ugy, hogy $f_n\to f$ m.m. es $\int f_{n}dx\to \int fdx$

Bizonyitas: $\varnothing$ biz.

related: TovFejAnal