2) Linearis algebra

Linearis egyenletrendszerek

$$A\in {\mathbb{K}}^{n\times k},x\in {\mathbb{K}}^k,b\in {\mathbb{K}}^n$$

Keressuk $x$-et ugy hogy

$$Ax=b$$

Tetel:

• Egy linearis egyenletrendszer kibovitett matrixa elemi sorekvivalens atalakitasokkal redukalt lepcsos alakra hozhato.
• Az egyenletrendszer akkor es csak akkor oldhato meg, ha a redukalt lepcsos alakban nincs tilos sor (olyan sor ami csupa nulla de nem nullaval kell egyenlonek lennie).
• Az egyenletrendszernek akkor es csak akkor egyertelmu a megoldasa ha nincs tilos sor es a vezeregyesek szama megegyezik az ismeretlenek szamaval a redukalt lepcsos alakban.
• Ha tobb megoldas van akkor a vezeregyeseket nem tartalmazo oszlopoknak megfelelo ismeretlenek szabad parameterek.

Cramer-szabaly: Ha $A\in T^{n\times n}$ es $D=\det A\ne 0$, akkor az $Ax=b$ egyenletrendszernek pontosan egy megoldasa van. A megoldasban $x_j=D_j/D$ ahol $D_j$ determinanst ugy kapjuk hogy a jobboldali konstansokat helyettesitjuk az matrix $j$-edik oszlopaba.

$$x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& b_1& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& b_2& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& b_n& \dots & a_{nn}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_1& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_2& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_n& \dots & a_{nn}\end{array}\right|}$$

Determinans

permutaciok
Egy permutacioban ket elem inverzioban all ha a nagyobbik megelozi a kisebbiket. Egy permutacio elemszama az inverzioban allo elemparok szama. A $\sigma$ permutacio inverzioszama $I(\sigma )$. A $\sigma$ permutacio paritasa $(-1{)}^{I(\sigma )}$. $n$ elemnek ugyanannyi paros es paratlan inverzioja van.

$$\det A=\sum _{\sigma }(-1{)}^{I(\sigma )}{a}_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\dots a_{n\sigma (n)}$$

tulajdonsagok:

• a sorok es az oszlopok szerepe felcserelheto es a determinans ugyanaz marad
• diagonalis matrix determinansa a foatlo szorzata
• ha van csupa 0 sor vagy oszlop akkor az egesz determinans 0
• ha egy sor vagy oszlop minden elemet $\lambda$-val megszorozzuk akkor az egesz determinans $\lambda$-val szorzodik
• ha egy sor vagy oszlop minden eleme egy kettagu osszeg akkor a determinans egyenlo a ket determinans osszegevel
• ha ket sor vagy oszlop egyenlo akkor a determinans 0
• ha valamelyik sor vagy oszlop egy masik $\lambda$ szorosa, akkor a determinans 0
• ha egy sorhoz vagy oszlophoz hozzaadjuk egy masik $\lambda$ szorosat akkor a determinans nem valtozik
• ha ket sort vagy oszlopot felcserelunk akkor a determinans elojelet valt
• transzponalt determinansa ugyanaz marad

Egy matrix $(i,j)$ elojeles aldeterminansat, $A_{ij}$-t, ugy kapjuk hogy az $i$-edik sort es a $j$-edik oszlopot elhagyva kiszamoljuk a matrix determinansat es megszorozzuk $(-1{)}^{i+j}$ -vel.

Kifejtesi tetel: Ha egy sor minden elemet megszorozzuk a hozzatartozo elojeles aldeterminanssal, az igy kapott szorzatok osszege a determinanssal egyenlo.

$$\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

Ferde kifejtesi tetel: Ha egy sor minden elemet megszorozzuk egy masik sorhoz tartozo elojeles aldeterminansokkal, az igy kapott szorzatok osszege mindig 0.

Vektorter

Def.: Egy $V$ nemures halmazt vektorternek nevezunk a $T$ test felett, ha az osszeadasra egy Abel csoport es van rajta meg egy skalarral valo szorzas definialva ugy hogy

• $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$
• $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$
• $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$
• $\forall v\in V:1_{T}v=v$ ahol $1_T$ a $T$ test egysegeleme, azaz $1\lambda =\lambda 1=1\forall \lambda \in T$

Def.: Egy $T$ test feletti $V$ vektorter egy nemures $W\subseteq V$ reszhalmazat alternek nevezzuk $V$-ben, ha $W$ maga is vektorter ugyanazon $T$ felett ugyanazokra a $V$-beli muveletekre nezve.

Tetel: Egy $T$ test feletti vektorterben egy $W$ nemures reszhalmaz akkor es csak akkor alter ha

• $u,v\in W⟹u+v\in W$
• $v\in W,\lambda \in T⟹\lambda v\in W$
  Ergo $W$ zart az osszeadasra es a skalarral valo szorzasra.

Fuggetlenseg

Def.: A $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ vektorok linearisan fuggetlenek, ha ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_n{v}_n=0$ csak ugy valosulhat meg, ha mindegyik ${\lambda }_i=0$.

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_n{v}_n=0⟹{\lambda }_i=0\forall i$$

Dimenzio

Def.: Bazis:

• Linearisan fuggetlen generatorrendszer
• Legkisebb generatorrendszer
• Legnagyobb fuggetlen rendszer

Tetel: (Kicserelesi tetel) Legyen $f_1,f_2,\dots ,f_n$ fuggetlen rendszer es $g_1,g_2,\dots ,g_k$ generatorrendszer. Ekkor barmely $f_i$-hez talalhato $g_j$ ugy hogy ha kicsereljuk $f_i$-t $g_j$-ra akkor fuggetlen marad a rendszer.
Biz.: TFH $f_1$-hez nem letezik $g_j$ tehat barmelyik $g_j$-re lecserelve a rendszer osszefuggne, tehat mindegyik $g_j$ eloall $f_2,f_3,\dots ,f_n$ linearis kombinaciojakent. Viszont $g_1,g_2,\dots ,g_k$ generatorrendszer tehat a vektorter ossze vektora eloall az o linearis kombinaciojukbal, specialba az osszes $f_i$ is. Tehat $f_i$-kbol letrejon az osszes $g_j$ amikbol meg letrejon az osszes $f_i$ tehat $f_i$-k nem linearisan fuggetlenek. Ellentmondasra jutottunk tehat $f_1$-hez leteznie kell $g_j$-nek.

Tetel: Egy vektorterben barmely ketto bazis elemszama azonos.

Def.: Egy $V$ vektorter dimenzioja egy bazis elemszama. Ha nincs veges generatorrendszer akkor a dimenzio vegtelen. Ha a $V=0$ akkor $\dim V=0$.

Tetel:

• $W\le V⟹\dim W\le \dim V$
• Ha $\dim V<\infty$ es $W\le V$ es $\dim W=\dim V$ akkor $W=V$

Def.: Egy $a_1,\dots ,a_n$ vektorrendszer rangja $r$ ha az $a_i$ vektorok kozott talalhato $r$ fuggetlen de $r+1$ nem.

Tetel: Az $a_1,a_2,\dots ,a_n$ vektorok altal generalt alter dimenzioja a vektorrendszer rangjaval egyenlo.

Tetel: Egy linearis egyenletrendszer akkor es csak akkor oldhato meg, ha az egyutthatomatrix rangja megegyezik a kibovitett matrix rangjaval.

Linearis lekepzesek es matrixaik

Def.: Legyen $V_1$ es $V_2$ ugyanazon $T$ kommutativ test feletti vektorterek. Ekkor azt mondjuk hogy $\mathcal{A}:V_1\to V_2$ (homogen) linearis lekepezes ha

• $\forall u,v\in V_1:\mathcal{A}(u+v)=\mathcal{A}(u)+\mathcal{A}(v)$
• $\forall u\in V_1,\forall \lambda \in T:\mathcal{A}(\lambda u)=\lambda \mathcal{A}(u)$

Def.:

$$\mathrm{Im}\mathcal{A}=\{\mathcal{A}x\mid x\in V_1\}$$

Def.:

$$\mathrm{Ker}\mathcal{A}=\{x\in V_1\mid \mathcal{A}x=0\}$$

Tetel: $\mathrm{Im}\mathcal{A}$ alter $V_2$-ben es $\mathrm{Ker}\mathcal{A}$ alter $V_1$-ben.

Def.: Ha $V_1=V_2$ akkor $\mathcal{A}$-t ugy hivjuk hogy linearis transzformacio.

Def.: Egy bijektiv linearis lekepezest izomorfizmusnak nevezunk. Ket vektorter izomorf ha letezik koztuk izomorfuzmus. Jel.: $V_1\cong V_2$

Tetel: Az $\mathcal{A}:V_1\to V_2$ lekepezos akkor es csak akkor izomorfizmus ha $\mathrm{Ker}\mathcal{A}=0$ es $\mathrm{Im}\mathcal{A}=V_2$.
Biz.: $\mathrm{Im}\mathcal{A}=V_2$ biztositja hogy $\mathcal{A}$ szurjektiv. TFH $\mathcal{A}u=\mathcal{A}v$ ekkor $0=\mathcal{A}u-\mathcal{A}v=\mathcal{A}(u-v)$ de $u\ne v$, ellentmondas. Tehat $\mathcal{A}$ injektiv.

Tetel:

$$\dim V_T=n\ne 0⟹V\cong T^n$$

Tetel:

$$U_T\cong V_T⟺\dim U=\dim V$$

Tetel: Legyen $b_1,\dots ,b_n$ bazis $V_1$-ben es $c_1,\dots c_n\in V_2$. Ekkor pontosan egy olyan $\mathcal{A}:V_1\to V_2$ lekepezes letezik amire

$$\mathcal{A}{b}_i=c_i\forall i$$

Tetel: (dimenzio-tetel)

$$\dim \mathrm{Im}\mathcal{A}+\dim \mathrm{Ker}\mathcal{A}=\dim V_1$$

Tetel: $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$ egy vektorter $T$ felett

Tetel: $\mathrm{Hom}(V)$ algebra $T$ felett

Def.: Legyen $a_1,\dots ,a_n$ egy bazis $V_1$-ben es $b_1,\dots b_k$ egy bazis $V_2$-ben. Ekkor $\mathcal{A}:V_1\to V_2$ linearis lekepezes matrixa az $a,b$ bazisparba a kovetkezo

$$[\mathcal{A}{]}_{a,b}=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& \dots & {\alpha }_{1n}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \dots & {\alpha }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_{k1}& {\alpha }_{k2}& \dots & {\alpha }_{kn}\end{array}\right]$$

ahol

$$\mathcal{A}{a}_i={\alpha }_{1i}{b}_1+{\alpha }_{2i}{b}_2+\cdots +{\alpha }_{ki}{b}_k\forall i=1,\dots ,n$$

Tetel:

$$[\mathcal{A}v{]}_b=[\mathcal{A}{]}_{a,b}\cdot [v{]}_a$$

Sajatertek

Def.: Az $\mathcal{A}$ linearis transzformacionak $\lambda \in T$ egy sajaterteke ha letezik olyan $v\in V$ ($v\ne 0$) amelyre

$$\mathcal{A}v=\lambda v$$

Def.: Az $\mathcal{A}$ linearis transzformacionak $v\in V$ ($v\ne 0$) egy sajatvektora ha letezik olyan $\lambda \in T$ amelyre

$$\mathcal{A}v=\lambda v$$

Def.: Egy $\mathcal{A}$ linearis transzformacio karakterisztikus polinomja a kovetkezo

$$k_{\mathcal{A}}(x)=\det ([\mathcal{A}-x\mathcal{E}])$$

Tetel: Egy $\lambda \in T$ skalar akkor es csak akkor sajaterteke $\mathcal{A}$-nak ha gyoke $k_{\mathcal{A}}(x)$-nek.
Biz.: $\exists v\in V:\mathcal{A}x=\lambda ⟺(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E})x=0⟺[\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E}]\cdot [x]=[0]⟺\det ([\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E}])=0⟺k_{\mathcal{A}}(x)=0$

Def.: Az $f$ polinom az $\mathcal{A}$ transzformacio minimalpolinomja, ha $f$ a legkisebb foku olyan polinom, amelynek $\mathcal{A}$ a gyoke. Jelolesben $m_{\mathcal{A}}$.
Tetel: Minden transzformacionak letezik minimalpolinomja, es konstans szorzo erejeig egyertelmu.
Tetel: (Cayley-Hamilton) A minimalpolinom osztoja a karakterisztikus polinomnak, tehat

$$m_{\mathcal{A}}\mid k_{\mathcal{A}}.$$

Tetel: Minden $\lambda \in T$-re $m_{\mathcal{A}}(\lambda )=0$ pontosan akkor ha $\lambda$ sajaterteke $\mathcal{A}$-nak. Tehat a minimalpolinom $T$-beli gyokei pontosan a sajatertekek.

Diagonalizalhatosag

Tetel: Egy linearis transzformacio matrixa akkor es csak akkor diagonalis ha a sajatvektorok altal alkotott bazisban irtuk fel. Ekkor a foatloban allo elemek pont a megfelelo bazisvektorokhoz tartozo sajatertekek.
Biz.:

$$[\mathcal{A}{]}_a=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

pontosan akkor teljesul ha $\mathcal{A}{a}_1={\lambda }_1,\mathcal{A}{a}_2={\lambda }_2,\dots ,\mathcal{A}{a}_n={\lambda }_n$

Normalis transzformaciok

Def.: Az $A$ transzformacio normalis, ha $A=A^{\ast }$.
Tetel: Egy veges dimenzios komplex euklideszi terben akkor es csak akkor letezik az $A$ transzformacionak ortonormalt sajatvektorokbol allo bazisa, ha $A$ normalis.

Uniter transzformaciok

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=I$$

Tetel: A fenti definicio ekvivalens a kovetkezokkel:

• $Ax\cdot Az=x\cdot z$
• $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$

Onadjungalt transzformaciok

$$A=A^{\ast }$$

Kvadratikus alakok

Def.: Bilinearis fuggveny.
Tetel:

$$A(u,v)=[u{]}^T[A][v].$$

Def.: $A$ szimmetrikus ha $A(u,v)=A(v,u)$.
Tetel: Szimmetrikus bilinearis fuggveny matrixa szimmetrikus.
Tetel: Szimmetrikus bilinearis fuggvenyhez letezik olyan bazis, melyben a matrixa diagonalis.
Tetel: Sot, olyan is amiben a foatloban csak $-1,0,+1$ elemek vannak.
Tetel: (Tehetetlensegi tetel) A szimmetrikus bilinearis fuggveny diagonalis matrixaban a pozitiv, negativ, es nulla elemek szama fuggetlen a bazistol.

Def.: Adott $A$ bilinearis fuggveny, ekkor az $\bar{A}(x)=A(x,x)$ fuggvenyt az $A$-hoz tartozo kvadratikus alaknak nevezzuk.
Tetel: Adott bazisban

$$\bar{A}(x)=[x{]}^T[A][x].$$

Megj.: Egy bilinearis fuggveny egyertelmuen meghataroz egy kvadratikus alakot, viszont ez visszafele nem feltetlenul igaz. Csak akkor all fenn visszafele is az allitas ha szimmetrikus a fuggveny.

Def.: poz def, neg def, poz szemi def, neg szemi def, indefinit.