Vonalintegrál

MOC

Def.: Vektromező

Def.: Görbementi vonalintegrál

Tétel 2.1:

1. Ha $\gamma$ görbe rektifikálható és $F$ vektormező folytonos, akkor létezik a $\gamma$ görbe vonalintegrálja az $F$ vektormezőn.
2. Ha $\gamma$ szakaszonként $C^1$ és $F$ folytonos, akkor $I={\int }_a^b⟨F(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)⟩dt$.

Tétel: Vonalintegrál tulajdonságai

Tétel: Triviális becslés

Def.: Vektormező primitív függvénye

Tétel: Newton-Leibniz görbékre

Tétel 2.2: A következők ekvivalensek:

1. $F$-nek létezik primitív függvénye.
2. Bármely két görbére, melyeknek a végpontjai megegyeznek, a vonalintegráljaik megegyeznek.
3. Ha $\gamma$ szakaszonként $C^1$ zárt görbe $G$-ben, akkor ${\int }_{\gamma }F=0$.
4. Bármely két töröttvonalra, melyek végpontjai megegyeznek, a vonalintegráljaik megegyeznek.
5. Ha $\gamma$ egy zárt töröttvonal, akkor ${\int }_{\gamma }F=0$.

Áll 2.1:

1. Ha $f$ primitív függvénye $F$-nek, akkor $f+c$ is primitív függvénye $F$-nek.
2. Ha $f_1,f_2$ is primitív függvényei $F$-nek, akkor $f_2-f_1=$ konstans.

Def.: Konzervatív vektormező

Tétel 2.3: $G\subset {\mathbb{R}}^d$ nyílt, $F:G\to {\mathbb{R}}^d$ differenciálható, $F=(F_1,\dots ,F_d)$.
Ekkor, ha $F$ konzervatív, akkor ${\partial }_{x_j}{F}_i={\partial }_{x_i}{F}_j$

Lemma 2.1: $A\in M_d(\mathbb{R})$, $A=A^T$, $b\in {\mathbb{R}}^d⟹F(x)=A\cdot x+b$ konzervatív.

Tétel 2.4: $G\subset {\mathbb{R}}^d$ nyílt, $F:G\to {\mathbb{R}}^d$ differenciálható, $F^{\prime }=(F^{\prime }{)}^T$ (azaz $F$ deriváltja szimmetrikus).
Ekkor $F$ konzervatív.

Lemma: Goursat Lemma

Def.: Csillagszerű tartomány

Áll 2.2: Ha $G\subset {\mathbb{R}}^d$ csillagszerű tartomány, $F:G\to {\mathbb{R}}^d$ differenciálható.
Ekkor $F$ konzervatív $⟺$ $\forall x\in G$-re $F^{\prime }(x)=(F^{\prime }(x){)}^T$.