Abszolút konvergens sor konvergens

tétel-biz

Áll.: Ha $\sum a_k$ abszolút konvergens, akkor konvergens is, és $\left|\sum a_j\right|\le \sum |a_j|$

Biz.: $\forall z\in \mathbb{C}:Re(z)\le |z|,Im(z)\le |z|$

$$⟹\sum |z|\ge \sum \mathrm{Im}(z)⟹\sum \mathrm{Re}(z)\text{ abszoluˊt konvergens}⟹\text{konvergens}$$ $$⟹\sum |u|\ge \sum \mathrm{Re}(z)⟹\sum \mathrm{Re}(z)\text{ abszoluˊt konvergens}⟹\text{konvergens}$$ $$\sum z=\sum \mathrm{Re}(z)+i\sum \mathrm{Im}(z)⟹\sum z\text{ konvergens}$$

Továbbá:

$$|s_n|=\left|\sum _{j=0}^n{a}_j\right|\le \sum _{j=0}^n|a_j|\le \sum _{j=0}^{\infty }|a_j|⟹\left|\sum _{j=0}^{\infty }{a}_j\right|=|\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n|\le \sum _{j=0}^{\infty }|a_j|$$