TovFejAnal pset 3

1.

Igazoljuk a paralelogramma-szabalyt: minden $x,y\in E$ eseten $||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$

Megoldas:

$$||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2:=(x+y,x+y)+(x-y,x-y)=||x|{|}^2+2(x,y)+||y|{|}^2+||x|{|}^2-2(x,y)+||y|{|}^2$$ $$=||x|{|}^2+||y|{|}^2+||x|{|}^2+||y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$$

2.

Legyen $(x_k{)}_{k=1,\dots ,n}$ $E$-beli, egymasra paronkent ortogonalis vektorok egy veges neures rendszere. Mutassuk meg, hogy

$${\left|\left|\sum _{k=1}^n{x}_k\right|\right|}^2=\sum _{k=1}^n||x_k|{|}^2$$

Megoldas:

$${\left|\left|\sum _{k=1}^n{x}_k\right|\right|}^2:=\left(\sum _{k=1}^n{x}_k,\sum _{k=1}^n{x}_k\right)=\sum _{k=1}^n||x_k|{|}^2+\sum _{i\ne j}(x_i,x_j)=\sum _{k=1}^n||x_k|{|}^2$$

3.

Szamitsuk ki az alabbi $x,y\in l_{\mathbb{C}}^2$ vektorok normajat, illetve skalarszorzatukat!
a) $x(n):=\frac{1}{2^n},y(n):=\frac{i^n}{3^n}$
b) $x=(1,0,0,0,\dots ),y=(0,0,1,0,0,\dots )(\text{a }\dots \text{ csupa }0\text{-t jelol})$

Megoldas:
a)

$$(x,y):=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{y}_k=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\cdot \frac{i^k}{3^k}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{i^k}{6^k}=\frac{1}{1-\frac{i}{6}}-1=-\frac{1}{37}+\frac{6i}{37}$$ $$||x||:=\sqrt{(x,x)}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\cdot \frac{1}{2^k}}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k+1}}}=\sqrt{\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{2^k}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$||y||:=\sqrt{(y,y)}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{i^k}{3^k}\cdot \frac{i^k}{3^k}}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{9^k}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}-1}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{8}}{8}$$

b)

$$(x,y):=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{y}_k=\sum _{k=1}^{\infty }0=0$$ $$||x||:=\sqrt{(x,x)}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k\cdot x_k}=\sqrt{1+0+0+\dots }=\sqrt{1}=1$$ $$||y||:=\sqrt{(y,y)}=\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }{y}_k{y}_k}=\sqrt{0+0+1+0+0+\dots }=\sqrt{1}=1$$

4.

Adott $n\in \mathbb{Z}$ eseten legyen $f_n$ az $[n,n+1]$ intervallum karakterisztikus fuggvenye, vagyis $f_n(x):=1$, ha $n\le x\le n+1$ es $f_n(x):=0$, ha $x<n$ vagy $x>n+1$. Mutassuk meg, hogy $(f_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ ortonormalt rendszer $L^2(\mathbb{R})$-ben!

Megoldas:
$TODO

5.

Legyen $H=L^2(0,\pi ),n\in {\mathbb{N}}^{+}$ adott, $V:=\left\{{\sum }_{k=1}^n{c}_k\sin kx:c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{R}\right\}$. (Ez véges dimenzios es iygy zart altere $H$-nak.) Adott $u\in L^2(0,\pi )$ eseten adjunk meg $u$-nak $V$-re vett meroleges vetuletet!

Megoldas:
$TODO

6.

Legyen $I=[0,\pi ],H=L^2(I)$ es tekintsuk $H$-n azt az $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ teljes ortonormalt sorozat, ahol $e_n(x):=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx$. Legyen $f(x):=x$ az identitasfuggveny.
a) Fejtsuk Fourier sorba $f$-et az $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ rendszer szerint!
b) Irjuk fel a Parseval-egyneloseget a fenti sorfejtesre! Mit kapunk? (Basel probem)

Megoldás:
Azt hasznaéjuk, hogy a trigonometrikus rendszer ONB $L^2(-\pi ,\pi )$-ben.
Legyen $f(t)=t\in C[-\pi ,\pi ]\subset L^2(-\pi ,\pi )$.
Teljesul a Fourier-sor eloallitas, vagyis

$$f(t)=\sum _{k=0}^{\infty }(f,e_k)\cdot e_k$$

Parseval-egyenloseg:

$$||f|{|}_{L^2}^2=\sum _{k=0}^{\infty }|(f,e_k){|}^2$$ $$||f|{|}_{L^2(-\pi ,\pi )}^2={\int }_{-\pi }^{\pi }t\cdot tdt={\left[\frac{t^3}{3}\right]}_{-\pi }^{\pi }=\frac{{\pi }^3}{3}+\frac{{\pi }^3}{3}=\frac{2{\pi }^3}{3}$$ $$(f,e_0)={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}tdt=0\text{, mert paratlan fuggveny szimmetrikus tartomanyon.}$$ $$(f,e_{2k})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }(\cos kt)\cdot tdt=0\text{, mert paratlan fuggveny szimmetrikus tartomanyon.}$$ $$(f,e_{2k-1})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }t\cdot \sin ktdt=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }+{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\cos kt}{k}dt\right)=$$ $$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }+0\right)=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }=$$

Ha $k$ paros:

$$=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(\frac{\pi }{k}+\frac{\pi }{k}\right)=-\frac{2\pi }{\sqrt{\pi }k}=-\frac{2\sqrt{\pi }}{k}$$

Ha $k$ paratlan:

$$=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-\frac{\pi }{k}-\frac{\pi }{k}\right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{k}$$

Tehat a jobboldal a kovetkezo:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2\sqrt{\pi }}{k}\right)}^2=\pi \cdot 4\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$$

Baloldal:

$$\frac{2{\pi }^3}{3}$$

bal = jobb:

$$⟹\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

related: TovFejAnal