TovFejAnal pset 4

1.

Legyen $H={\ell }_{\mathbb{K}}^2,e_n:=(\stackrel{n-1}{\overbrace{0,\dots ,0}},1,0\dots )$ (vagyis minden rögzített $n$-re $e_n$ az a sorozat, amelyre $e_n(n)=1$, és $e_n(k)=0$, ha $k\ne n$.)
(a) Mutassuk meg, hogy ${\left(e_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ teljes ortonormált rendszer ${\ell }_{\mathbb{K}}^2$-ban!
(b) Legyen $x$ az a $\mathbb{K}$-ban haladó sorozat, amelyre $n\in \mathbb{N}$ esetén $x_n:=\frac{1}{n}$. Igazoljuk, hogy $x\in {\ell }_{\mathbb{K}}^2$, és írjuk fel $x$-nek az ${\left(e_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ rendszer szerinti Fourier sorát!

Megoldas:
a) Ortogonalis, mert

$$\forall k\ne n:(e_n,e_k)=\sum _{j=1}^{\infty }{e}_n(j)e_k(j)=\sum _{j=1}^{\infty }0=0$$

Normalt, mert

$$\forall n:(e_n,e_n)=\sum _{j=1}^{\infty }{e}_n(j)=1$$

Teljes, mert

$$\forall x\in {\ell }_{\mathbb{K}}^2:(x,e_n)=0,\forall n⟹x\equiv 0$$

Ez igaz, mert ha minden $n$-re a skalar szorzat $0$-akkor minden $n$-re az $x$ $n$-edik eleme $0$, tehat o maga csak a csupa $0$ lehet.

b) $x\in {\ell }_{\mathbb{K}}^2$, mert

$$\sum _{j=1}^{\infty }|x_j{|}^2=\sum _{j=1}^{\infty }{\left|\frac{1}{j}\right|}^2=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{1}{j^2}=\frac{{\pi }^2}{6}<\infty$$

Fourier-sorfejtese:

$$x=\sum _{j=1}^{\infty }(x,e_j)e_j=\sum _{j=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }x(k)\cdot e_j(k)\right)\cdot e_j=\sum _{j=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}\cdot e_j(k)\right)e_j$$ $$=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{1}{j}{e}_j=\left(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right)$$

2.

Legyen $I=[a,b],H=L^2(I),K$ a konstansfüggvények $1$-dimenziós altere.
(a) Adjuk meg egy $f\in L^2(I)$ vetületét $K$-ra!
(b) Határozzuk meg a $K^{\perp }$ alteret!
(c) Igazoljuk, hogy $K$ zárt altér!
(d) Igazoljuk, hogy minden $f\in L^2(I)$ függvényhez létezik egyetlen olyan $u\in L^2(I)$, hogy ${\int }_a^{b}u=0$ és $f-u$ konstans függvény.

Megoldas:
a) ONB-t keresunk $K$-ban
Legyen $B:=\{\text{konstans }1\text{ fuggveny}\}$

$$||1_K||=\sqrt{{\int }_{I}1dx}=\sqrt{b-a}$$

ONB $K$-ban: $\frac{1}{\sqrt{b-a}}$

$$f_K=\left(f,\frac{1_K}{\sqrt{b-a}}\right)\cdot \frac{1_K}{\sqrt{b-a}}=\frac{1}{b-a}{\int }_{I}f(x)dx\cdot 1$$

b) $K^{\perp }:=\{g\in H:g\perp c\forall c\in K\}$

$$=\left\{f\in L^2(I):{\int }_{I}f\cdot c=0,\forall c\in K\right\}$$ $$=\left\{f\in L^2(I):c\cdot {\int }_{I}f,\forall c\in K\right\}$$ $$=\left\{f\in L^2(I):{\int }_{I}f\right\}$$

c) $K$ zárt altér

$$\forall c_1,c_2\in K,\forall k\in \mathbb{R}:k{c}_1+c_2\in \mathbb{R}$$ $$⟹\text{alter}$$ $$\dim K<\infty ⟹\text{zart}$$

d) Minden $f\in L^2(I)$ függvényhez létezik egyetlen olyan $u\in L^2(I)$, hogy ${\int }_a^{b}u=0$ és $f-u$ konstans függvény.
Riesz fele ortogonalitas tetel:

$$(H,(\cdot ,\cdot ))\text{ Hilbert-ter }{H}_1\text{ zart altere }H\text{-nak}$$ $$⟹H=H_1\oplus H_1^{\perp }$$

A c) feladatresz miatt tudjuk, hogy alkalmazhato a tetel, mert $H=L^2(I)$ Hilbert-ter, $H_1=K$.

$$\forall f\in L^2(I):\exists !u\in K^{\perp },c\in K:f=u+c$$ $$⟹f-u=c\in K$$

3.

Legyen $\Omega =B(0,1)\subset {\mathbb{R}}^2$ az egységkörlap, és $\alpha >0$ rögzített szám. Az $f(x)=\frac{1}{|x{|}^{\alpha }}$ függvény mely $p$ esetén lesz $L^p(\Omega )$-beli?

Megoldas:
Kerdes:
Mely $p$-re lesz a kovetkezo integral veges?

$${\left({\int }_{\Omega }{\left|\frac{1}{|x{|}^{\alpha }}\right|}^{p}dx\right)}^{1/p}$$ $$\begin{array}{rl}{\left({\int }_{\Omega }{\left|\frac{1}{|x{|}^{\alpha }}\right|}^{p}dx\right)}^{1/p}& ={\left({\int }_{\Omega }\frac{1}{|x{|}^{\alpha \cdot p}}dx\right)}^{1/p}\\ \left({\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\frac{1}{|r|}\cdot rdrd\vartheta \right)& =\end{array}$$

related: TovFejAnal