Algebra alaptétele

tétel-biz

Tétel: $p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$, $n\ge 1$, $a_n{\ne }_0$, $a_j\in \mathbb{C}⟹\exists \alpha \in \mathbb{C}:p(\alpha )=0$

Biz.: Indirekt, tegyük föl, hogy $\nexists \alpha \in \mathbb{C}:p(\alpha )=0,p\ne 0$
$p\in \mathcal{O}(\mathbb{C})⟹f(z)=\frac{1}{p}\in \mathcal{O}(\mathbb{C})$

Áll.: $f$ korlátos.
Biz.: $p(z)=z^n\left(a_n+\frac{a_{n-1}}{z}+\frac{a_{n-2}}{z^2}+\cdots +\frac{a_0}{z^n}\right)$
Ha $|z|\to \infty ⟹\left|\frac{a_{n-1}}{z}\right|\to 0⟹\frac{a_{n-1}}{z}{\to }_0$
Ha $|z|\to \infty ⟹\left|\frac{a_{n-2}}{z^2}\right|\to 0⟹\frac{a_{n-2}}{z^2}\to 0$
$⋮$
Ha $|z|\to \infty ⟹\left|\frac{a_0}{z^n}\right|\to 0⟹\frac{a_0}{z^n}\to 0$o

$⟹{\lim }_{|z|\to \infty }\left(\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots +\frac{a_0}{z^n}\right)=0$

$⟹\exists r_0:\forall r>r\text{-ra}:\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots +\frac{a_0}{z^n}\in B\left(0,\left|\frac{a_n}{2}\right|\right)$

$⟹|p(z)|=|z^n|\left|a_n+\frac{a_{n-1}}{z}+\dots \frac{a_0}{z^n}\right|\ge |z^n|\cdot \frac{|a_n|}{2}$

$⟹|z|\ge r_0\text{-ra}:|f(z)|=\left|\frac{1}{p(z)}\right|\le \frac{2}{|a_n|}\cdot \frac{1}{|z^n|}\le \frac{2}{|a_n|}\cdot \frac{1}{r_0^n}$
$\bar{B}(0,r_0)$ kompakt, ezen $|f|$ folytonos.

$K={\max }_{\xi \in \bar{B}(0,r_0)}|f(z)|⟹|f(z)|\le \max \left(K,\frac{z}{|a_n|},\frac{1}{r_0^n}\right)$
Tehát $f$ korlátos, tehát teljesülnek a Luiville tétel feltételei.
$⟹f\equiv 0$ ellentmondás!