TovFejAnal het 5

date: 2024.03.12

Folytonos linearis lekepezesek

$X,Y$ vektorterek, $A:X\to Y$ lekepezes linearis, ha
1.) $A(x+y)=A(x)+A(y)$, $\forall x,y\in X$
2.) $A(\lambda \cdot x)=\lambda A(x)$, $\forall x\in X$

jel.: $A(x)=Ax$

Legyen most $(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$ es $(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ normalt terek

Def.:

Az $A:X\to Y$ folytonos linearis lekepezes, ha linearis es folytonos a normak altal indukalt metrikakra nezve.

Def.:

Legyen $A:X\to Y$ linearis lekepezes. Azt mondjuk, hogy $A$ korlatos linearis lekepezes, ha $\exists M\ge 0$ konstans, hogy $\Vert Ax{\Vert }_Y\le M\cdot \Vert x{\Vert }_X$ $\forall x\in X$.

All.:

Legyen $A:X\to Y$ normalt terek kozotti linearis lekepezes. Ekkor ekvivalensek:
(i) $A$ folytonos
(ii) $A$ folytonos $0_X$-ban
(iii) $A$ korlatos linearis lekepezes

Biz.:
(i) $⟹$ (ii) trivialis
(ii) $⟹$ (iii)
Legyen $\epsilon =1$. Ekkor a $0_X$ beli folytonossag definicioja szerint $\exists \delta >0$ szam, hogy $\forall x\in X$ $\Vert x-0{\Vert }_X=\Vert x{\Vert }_X\le \delta$ eseten $\Vert Ax{\Vert }_Y\le 1$.
Legyen $x\in X$ tetszolekes. Ekkor $\Vert \frac{\delta x}{\Vert x\Vert }\Vert =\delta$ . Ezert $\Vert A\left(\delta \cdot \frac{x}{\Vert x\Vert }\right){\Vert }_Y\le 1$, $\forall x\in X$.
Tehat

$${\Vert \frac{\delta }{\Vert x{\Vert }_X}\cdot Ax\Vert }_Y=\frac{\delta }{\Vert x{\Vert }_X}\Vert Ax{\Vert }_Y\le 1$$ $$⟹\Vert Ax{\Vert }_Y\le \frac{1}{\delta }\Vert x{\Vert }_X$$

Tehat $M:=\frac{1}{\delta }$ valaszthato.

(iii) $⟹$ (i)
Tegyuk fel hogy $\Vert Ax{\Vert }_Y\le M\cdot \Vert x{\Vert }_X$ $\forall x\in X$. Ekkor, ha $x,y\in X$ tetszoleges vektorok, akkor

$$\Vert A(x-y){\Vert }_Y=\Vert Ax-Ay{\Vert }_Y\le M\cdot \Vert x-y{\Vert }_X$$

Tehat $A$ Lipschitz folytonos, amibol kovetkezik, hogy folytonos.

Megj.: Ha $A:X\to Y$ folytonos linearis lekepezes, akkor Lipschitz-tulajdonsagu is.

Jeloles: Az $X$ es $Y$ normalt terek kozti folytonos (vagy korlatos) linearis lekepezesek teret $\mathcal{L}(X,Y)$-al jeloljuk. $\mathcal{L}(X)=\mathcal{L}(X,X)$.

Def/Tetel

Legyen $A\in \mathcal{L}(X,Y)$. Ekkor az $M$ korlatozo konstansok kozul letezik legkisebb, amit $\Vert A\Vert$-val jelolunk.
Tehat $\Vert Ax{\Vert }_Y\le \Vert A\Vert \cdot \Vert x{\Vert }_X$, $\forall x\in X$.

Biz.:
Legyen $M\ge 0$ olyan, hogy $\Vert Ax{\Vert }_Y\le M\cdot \Vert x{\Vert }_X$

$$\left\{\frac{\Vert Ax{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}:x\in X\setminus \{0_X\}\right\}$$

ez a halmaz felulrol korlatos $\mathbb{R}$-ben

$$⟹\exists \sup \left\{\frac{\Vert Ax{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}:x\in X\setminus \{0_X\}\right\}$$

tovabba

$$\Vert A\Vert :=\sup \left\{\frac{\Vert Ax{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}:x\in X\setminus \{0_X\}\right\}\le M\text{ megengedett }M\text{-ekre}$$

Masreszt $\Vert A\Vert$ definicioja miatt $\Vert Ax{\Vert }_Y\le \Vert A\Vert \cdot \Vert x{\Vert }_X$. Ezzel belattuk a definiciot.

Atirva:

$$\sup \left\{\frac{\Vert Ax{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}:x\in X\setminus \{0_X\}\right\}=\sup \left\{{\Vert A\left(\frac{1}{\Vert x{\Vert }_X}\cdot x\right)\Vert }_Y:x\in X\setminus \{0_X\}\right\}$$ $$=\sup \{\Vert Ax{\Vert }_Y:\Vert x{\Vert }_X=1\}=\Vert A\Vert$$

All.:

$\mathcal{L}(X,Y)$ vektorter normalt ter a fenti operator normaval.

Biz.:
1.) $\Vert A\Vert \ge 0$ igaz
2.) $\Vert A\Vert =0⟺A\equiv 0$
$⟸$ irany trivialis
$⟹$ $\sup \{\Vert Ax\Vert :\Vert x\Vert =1\}=0⟹\Vert Ax\Vert =0\forall x\in X,\Vert x\Vert =1$
$⟹$ $\Vert Ax\Vert =0\forall x\in X:\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_X}\Vert =1$
3.) $\Vert \lambda \cdot A\Vert \stackrel{\text{def}}{=}\sup \{\Vert (\lambda \cdot A)x{\Vert }_Y:\Vert x{\Vert }_X=1\}$
$=\sup \{|\lambda |\cdot \Vert Ax{\Vert }_Y:\Vert x{\Vert }_X=1\}$
$=|\lambda |\cdot \sup \{\Vert Ax{\Vert }_Y:\Vert x{\Vert }_X=1\}=\lambda \cdot \Vert A\Vert$

4.)

$$\begin{array}{rl}\Vert (A+B)x{\Vert }_Y=\Vert Ax+Bx{\Vert }_Y& \le \Vert Ax{\Vert }_Y+\Vert Bx{\Vert }_Y\\ & \stackrel{\text{def}}{\le }\Vert A\Vert \cdot \Vert x{\Vert }_X+\Vert B\Vert \cdot \Vert x{\Vert }_X\\ & =(\Vert A\Vert +\Vert B\Vert )\cdot \Vert x{\Vert }_X\end{array}$$ $$⟹\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$$

Megj.: $\mathcal{L}(X)$ algebra a kompoziciora, mint szorzasra nezve, es $1$-elemes: $1={\mathrm{Id}}_X$.

All.:

$A\in \mathcal{L}(Y,Z),B\in \mathcal{L}(X,Y)$. Ekkor $A\cdot B\in \mathcal{L}(X,Z)$ es $\Vert A\cdot B\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$.
Biz.:
$A\cdot B=A\circ B$ folytonos - volt / mindjart lesz
$(A\cdot B)(x+y)=A(Bx+By)=ABx+ABy$
$(A\cdot B)(\lambda \cdot x)=A(\lambda \cdot Bx)=\lambda \cdot A(Bx)=\lambda ABx$

$$\Vert (A\cdot B)x{\Vert }_Z=\Vert A(Bx){\Vert }_Z\le \Vert A\Vert \cdot \Vert Bx{\Vert }_Y\le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert \cdot \Vert x{\Vert }_X$$ $$⟹\Vert A\cdot B\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$$

Def.:

Azt mondjuk, hogy az $X$ es $Y$ normalt terek izometrikusan izomorfak, ha $\exists J:X\to Y$ linearis bijekcio, amelyre $\Vert Jx{\Vert }_Y=\Vert x{\Vert }_X\forall x\in X$.

Megj.: Ilyenkor $\Vert J\Vert =1$.

Def.:

Egy $A:X\to \mathbb{R}$ linearis lekepezest szokas linearis funkcionalnak nevezni.
Masreszt, ha $A:X\to \mathbb{R}$ folytonos linearis lekepezes, akkor szokas folytonos linearis funkcionalnak nevezni.

Jel.: $\mathcal{L}(X,\mathbb{R})=X^{\prime }$ az $X$ normalt ter dualis tere, $\phi \in X^{\prime }$.

peldak:
1.) $X=C[0,1]$, $\Vert \cdot {\Vert }_{\max }$
$\phi (f):={\int }_0^{1}f\in \mathbb{R}$

All.: $\phi \in \mathcal{L}(X,\mathbb{R})=X^{\prime }$
Biz.:
1.) $\phi$ linearis: $\phi (f+g)={\int }_0^{1}f+g={\int }_0^{1}f+{\int }_0^{1}g=\phi (f)+\phi (g)$, tovabba $\phi (\lambda \cdot f)=\lambda \cdot \phi (f)$
2.) $\phi$ folytonos $⟺$ korlatos
$|\phi (f)|=\left|{\int }_0^{1}f\right|\le {\int }_0^1|f|\le 1\cdot \underset{[0,1]}{\max }|f|=1\cdot \Vert f{\Vert }_{\max }$

2.) $X={\mathbb{R}}^d,\Vert \cdot {\Vert }_1$
$\phi \in X^{\prime }=\mathcal{L}({\mathbb{R}}^d,\mathbb{R})$

$$\phi (x)=\phi \left(\sum _{j=1}^d{x}_j\cdot e_j\right)=\sum _{j=1}^d{x}_j\phi (e_j)=(x,a_{\phi })$$

ahol $a_{\phi }=(\phi (e_1),\dots ,\phi (e_d))$

All.:

Legyen $X$ veges dimenzios normalt ter, $Y$ tetszoleges normalt ter. Ekkor minden $A:X\to Y$ linearis lekepezes folytonos / korlatos is.

Biz.: $X\cong {\mathbb{R}}^d$ , ${\mathbb{R}}^d$-n barmely ket norma ekvivalens legyen $\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+\cdots +|x_d|$
Legyen $A:({\mathbb{R}}^d,\Vert \cdot {\Vert }_1)\to (Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ linearis lekepezes.
Belatjuk, hogy $A$ korlatos. Legyen $\{e_1,\dots ,e_d\}\subset {\mathbb{R}}^d$ bazis rogzitve.
$x\in {\mathbb{R}}^d$ tetszoleges, $M:=\max \{\Vert A{e}_1\Vert ,\dots ,\Vert A{e}_d\Vert \}$.

$$\Vert Ax{\Vert }_Y\stackrel{\text{(lin.)}}{=}{\Vert \sum _{j=1}^d{x}_j\cdot A{e}_j\Vert }_Y\stackrel{(\Delta \ne )}{\le }\sum _{j=1}^d\Vert x_j\cdot A{e}_j{\Vert }_Y=\sum _{j=1}^d|x_j|\cdot \Vert A{e}_j{\Vert }_Y\le M\cdot \sum _{j=1}^d|x_j|=M\cdot \Vert x{\Vert }_1$$

Tehat $A$ korlatos, amibol kovetkezik, hogy folytonos.

All.:

Legyen $H$ Hilbert-ter, legyen $y\in H$ rogzitett vektor.

$${\phi }_y(x):=(x,y),x\in H$$

allitas: ${\phi }_y\in H^{\prime }=\mathcal{L}(H,\mathbb{R})$, masreszt $\Vert {\phi }_y\Vert \le \Vert y{\Vert }_H$

Biz.:
1.) ${\phi }_y$ linearis, mert

$$\begin{array}{rl}{\phi }_y({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2)& \stackrel{\text{def}}{=}({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2,y)\\ & =\lambda (x_1,y)+{\lambda }_2(x_2,y)\\ & ={\lambda }_1\phi (x_1)+{\lambda }_2\phi (x_2)\end{array}$$

2.) ${\phi }_y$ korlatos $⟹$ folytonos

$$|{\phi }_y(x)|=|(x,y)|\stackrel{\text{Cauchy Schwartz}}{\le }\Vert x{\Vert }_H\cdot \Vert y{\Vert }_H$$

$⟹\Vert {\phi }_y\Vert \le \Vert y{\Vert }_H$

Tetel (Riesz-Fréchet)

Legyen $J:H\to H^{\prime }$, $Jy:={\phi }_y\in H^{\prime }$. Ekkor $J$ izometrikus izomorfia a $H$ es a $H^{\prime }$ kozott, vagyis $J$ linearis bijekcio es $\Vert Jy{\Vert }_{H^{\prime }}=\Vert {\phi }_y{\Vert }_{H^{\prime }}=\Vert y{\Vert }_H$.

Biz.:
1.) $J$ linearitasa

$$J(y_1+y_2)\stackrel{?}{=}{\phi }_{y_1}+{\phi }_{y_2}\in H^{\prime }$$

Kell, hogy

$$\begin{array}{rl}J(y_1+y_2)(x)& ={\phi }_{y_1+y_2}(x)\stackrel{?}{=}{\phi }_{y_1}(x)+{\phi }_{y_2}(x)\\ & =(x,y_1+y_2)=(x,y_1)+(x,y_2)\end{array}$$

ugyanigy

$$J(\lambda y)={\phi }_{\lambda y}=\lambda J(y)=\lambda {\phi }_y$$

2.) $Jy\in H^{\prime }$ ez volt, $\Vert Jy\Vert =\Vert {\phi }_y\Vert \le \Vert y{\Vert }_H$.

$$|(Jy)(y)|=|{\phi }_y(y)|=|(y,y)|\stackrel{def}{=}\Vert y{\Vert }_H\cdot \Vert y{\Vert }_H$$ $$⟹\Vert {\phi }_y\Vert =\Vert y{\Vert }_H$$

3.)
Kell meg, hogy bijekcio!

i) $J$ injektiv, mivel $J$ linearis ezert eleg belatni, hogy $Jy\equiv 0_{H^{\prime }}⟹y=0_H$, vagyis $\mathrm{Ker}(J)=0_H$.
$Jy\equiv 0⟺{\phi }_y(x)=0\forall x\in H⟹{\phi }_y(y)=0⟺(y,y)=0⟹y=0$

ii) $J$ szurjektiv a $H^{\prime }$-re, vagyis tetszoleges $\phi \in H^{\prime }$ folytonos linearis funkcional eloall mint ${\phi }_y$ valamely $y\in H$ eseten.
Legyen $\phi \in H^{\prime }$ tetszoleges, megmutatjuk, hogy $\exists y\in H$ ugy, hogy $\phi (x)={\phi }_y(x)\forall x\in H$ vagyis $\phi (x)=(x,y)\forall x\in H$.
Tekintsuk a $\mathrm{Ker}\phi :=\{x\in H:\phi (x)=0\}$ alteret, raadasul $\mathrm{Ker}\phi$ zart alter, ugyanis, ha $(x_n)\subset \mathrm{Ker}\phi ,x_n\to x\in H$, akkor $\phi (x_n)\to \phi (x)=0$ ($\phi$ folytonos) $⟹x\in \mathrm{Ker}\phi$.

Riesz tetel az ortogonalis felbontasrol masodik esete azt mondja, hogy
1.)

$$\mathrm{Ker}\phi =H⟹\phi \equiv 0⟹\phi ={\phi }_{0}y=0\text{ joˊ}$$

2.)

$$\mathrm{Ker}\phi \subset H\text{ valodi zart alter}⟹\exists e\in H\setminus \mathrm{Ker}\phi :\Vert e\Vert =1,e\perp \mathrm{Ker}\phi$$

Legyen

$$y:=\phi (e)\cdot e$$

Ez pont jo, vagyis $\phi (x)=(x,\phi (e)\cdot e)\forall x\in H$.

$$\phi (x)=(x,\phi (e)\cdot e)⟺\phi (x)-(x,\phi (e)\cdot e)=0$$ $$⟺\phi (x)\cdot (e,e)-(x,\phi (e)\cdot e)=0$$ $$⟺(\phi (x)\cdot e,e)-(\phi (e)\cdot x,e)=0$$ $$⟺(\phi (x)\cdot e-\phi (e)\cdot x,e)=0$$

All.: $\phi (x)\cdot e-\phi (e)\cdot x\in \mathrm{Ker}\phi$ es ekkor keszen is vagyunk, mivel $e\perp \mathrm{Ker}\phi$.
Biz.: $\phi (\phi (x)\cdot e-\phi (e)\cdot x)\stackrel{lin}{=}\phi (x)\cdot \phi (e)-\phi (e)\cdot \phi (x)=0$

related: TovFejAnal