Fubini

tétel-biz

Tétel: Adott $Q=[a,b]\times [c,d]$ tégla és ezen a téglán értelmezett $f:Q\to {\mathbb{R}}^2$ integrálható függvény, azaz $f\in R_Q$.

1. verizó
   Ekkor, ha $\forall x\in [a,b]:f_x\in R_{[c,d]}$, ahol $f_x(y)=f(x,y)$, tehát $y\mapsto f(x,y)$:

$$A(x):={\int }_c^d{f}_x(y)dy$$

Ekkor $A\in R_{[a,b]}$ és

$$\underset{Q}{\int }f(x,y)du={\int }_a^{b}A(x)dx={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$$

2. verzió
   Ekkor, ha $\forall y\in [c,d]:f_y\in R_{[a,b]}$, ahol $f_y(x)=f(x,y)$, tehát $x\mapsto f(x,y)$:

$$B(y):={\int }_a^b{f}_y(x)dx$$

Ekkor $B\in R_{[c,d]}$ és

$$\underset{Q}{\int }f(x,y)du={\int }_c^{d}B(y)dy={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy$$

Kettő együtt:

$$\underset{Q}{\int }f(x,y)du={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$$

Biz.:
$f\in R_Q⟹\Omega (f,\mathbb{P})<\epsilon$
Lemma $⟹\Omega (A,{\mathbb{P}}^1)\le \Omega (f,\mathbb{P})⟹\Omega (A,{\mathbb{P}}^1)<\epsilon$, tehát $A\in R_{[a,b]}$.

$k\in \mathbb{N}$, legyen $\mathbb{P}$ olyan felosztás, hogy:

$$\underset{\bar{Q}}{\int }f(x,y)dx-\frac{1}{k}<s(f,\mathbb{P})$$

És legyen ${\mathbb{P}}^{\prime }$ olyan felosztás, hogy:

$$\underset{Q}{\overset{-}{\int }}f(x,y)dx+\frac{1}{k}>s(f,{\mathbb{P}}^{\prime })$$

Legyen ${\mathbb{P}}^{\ast }$ közös finomítása $\mathbb{P}$ és ${\mathbb{P}}^{\prime }$-nak, ekkor:

$$\underset{Q}{\int }f(x,y)dx-\frac{1}{k}=\underset{\bar{Q}}{\int }f(x,y)dx-\frac{1}{k}<s(f,\mathbb{P})\le s(f,{\mathbb{P}}^{\ast })\le s(A,{\mathbb{P}}^{\ast 1})\le$$ $$\le S(A,{\mathbb{P}}^{\ast 1})\le S(f,{\mathbb{P}}^{\ast })\le S(f,{\mathbb{P}}^{\prime })\le \underset{Q}{\overset{-}{\int }}f(x,y)dx+\frac{1}{k}=\underset{Q}{\int }f(x,y)dx+\frac{1}{k}$$ $$⟹\underset{Q}{\int }f(x,y)dx-\frac{1}{k}\le \underset{\bar{a}}{\overset{b}{\int }}A(x)dx\le \underset{a}{\overset{\underline{b}}{\int }}A(x)dx\le \underset{Q}{\overset{-}{\int }}f(x,y)dx+\frac{1}{k}$$ $$⟹\underset{Q}{\int }f(x,y)dx={\int }_a^{b}A(x)dx$$

Hasonló módon a másik oldal is belátható.

Dependencies:

• Fubini lemma
• Közös finomítás
• Finomítás jobban közelít
• Felső, alsó integrál