NumMod 1 het 1

2024.02.12

Numerikus moddelezés lepesei

1. Valodi problema
   Halpopulacio idobeli fejlodese

2. Tudomanyos modell
   Vannak zsakmanyhalak es ragadozo halak

   • termezetes szaporulat
   • ragadozok esznek zsakmanyokat
   • termeszetes pusztulas

3. Matematikai modell

   • jelolje $x(t)$ a zsakmanyhalak $t$ idobeli ossztomeget
   • jelolje $y(t)$ a ragadozohalak $t$ idobeli osszomeget

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax-bxy\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=-cy+dxy\end{array}$$ $$x(0)=x_0$$ $$y(0)=y_0$$

4. Numerikus modell
   Kozelito modszert alkalmazva a Lotka Volterra egyenlet rendszerre

5. Szamitogepes modell
   Lekodoljuk es futtatjuk a numerikus modellnek a programjat

Hibaforrasok

1. Modellhiba
   A tudomanyos/matematikai modellben egyszerusitesekkel eltunk

2. Keplethiba
   A matematikai/numerikus modellben egy egyszerubb kifejezessel helyettesitettunk egy bonyolultabbat, pl.:

$$\exp (2)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^k}{k!}\approx \sum _{k=0}^N\frac{2^k}{k!}$$

→ diszkretizacios hiba

• folytonos fuggveny <—> racs pont fuggveny
• derivalt ←> differencial hanyados
• integral ←> veges osszeg

3. A bemeno adatok hibaja
   pl.: meresi hiba

4. Szamabrozolasbol eredo hiba
   pl.: flooting point error

Hibafogalmak

$a:=$ pontos ertek $(a\in \mathbb{R})$
$\tilde{a}:=$ szamitott ertek $(\tilde{a}\in \mathbb{R})$

Def.: Az $\tilde{a}$ abszolut hibajanak az $\Delta a:=a-\tilde{a}$ szamot ertjuk.

Def.: Az ${\Delta }_a\in {\mathbb{R}}_0^{+}$ szamot az $\tilde{a}$ egy abszolut hibakorlatjanak nevezzuk, ha $|\Delta a|\le {\Delta }_a$.

Jel.: $a=\tilde{a}\pm {\Delta }_a$

Def.: $\tilde{a}$ relativ hibaja: $\delta a.=\frac{\Delta a}{|\tilde{a}|}$

Def.: $\tilde{a}$ relativ hibakorlatja: ${\delta }_a\in {\mathbb{R}}_0^{+}$ szam melyre $|\delta a|\le {\delta }_a$

Megj.: ${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{|\tilde{a}|}$ mindig jo lesz

Az alapmuveletek hibaja

tfh $x,y\in \mathbb{R}$ helyett a hibas $\tilde{x},\tilde{y}\in \mathbb{R}$ szamokkal vegezzuk ele az alapmuveleteket.

1. osszeadas

$$|(x+y)-(\tilde{x}+\tilde{y})|=|x-\tilde{x}+y-\tilde{y}|\le |x-\tilde{x}|+|y-\tilde{y}|\le {\Delta }_x+{\Delta }_y$$

2. kivonas

$$|(x-y)-(\tilde{x}-\tilde{y})|=|x-\tilde{x}+\tilde{y}-y|\le |x-\tilde{x}|+|\tilde{y}-y|=|x-\tilde{x}|+|y-\tilde{y}|\le {\Delta }_x+{\Delta }_y$$

3. szorzas

$$|xy-\tilde{x}\tilde{y}|=|xy+x\tilde{y}-x\tilde{y}-\tilde{x}\tilde{y}|=|x(y-\tilde{y})+\tilde{y}(x-\tilde{x})|\approx |\tilde{x}(y-\tilde{y})+\tilde{y}(x-\tilde{x})|\le |\tilde{x}|{\Delta }_y+|\tilde{y}|{\Delta }_x:={\Delta }_{xy}$$

4. hanyados

$$|\frac{x}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}|\le \frac{{\Delta }_{xy}}{{\tilde{y}}^2}$$

Korrekt kitozesu feladatok

Elvarasok a megoldando feladattol:

1. Letezzen megoldas (egzisztencia)
2. csak egy mo legyen (unicitas)
3. a feladat pontos mo-ja folytonosan fuggjon a bemeno adatoktol
   pl $Ax=b$ nem ilyen

Normalt ter

Eddig feltettuk: $a,\tilde{a}\in \mathbb{R}$
Mi van, ha $a,\tilde{a}\in X$ (pl.: $X={\mathbb{R}}^n$ vagy valami mas halmaz)
kellene ertelmezi a kovetkezoket:

• elemek kulombese → tfh $X$ vektorter
• analog az abszolut fv-re

related: NumMod 1