NumMod 1 het 2

date: 2024.02.19

Emlek:

$|a-\tilde{a}|\le \Delta a$
what if $a-\tilde{a}$-en nem ertelmezett egy norma

motivation: kene egy tavolsag fuggveny hogy ertelmezzuk $|a-\tilde{a}|$ erteket

Tekintsuk a $|\cdot |:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fuggvenyt tulajdonsagait:

1. $|x|\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ es $|x|=0⟺x=0$
2. $|\lambda x|=|\lambda |\cdot |x|$
3. $|x+y|\le |x|+|y|$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

→ altalanositas:

Def.: Legyen $X$ tetszoleges vektorter, es $||\cdot ||:X\to \mathbb{R}$ egy fv a kov tulajdonsagokkal:

1. $||x||\ge 0$ $\forall x\in X$ es $||x||=0⟺x=0_X$ ($X$ nullvektora)
2. $||\lambda x||=|\lambda |\cdot ||x||$ $\forall x\in X,\forall \lambda \in \mathbb{R}$
3. $||x+y||\le ||x||+||y||$ $\forall x,y\in X$
   Ekkor ezen $||\cdot ||$ normanak nevezzuk es a normalt ter (N.T.) a kovetkezo rendezett par: $(X,||\cdot ||)$.

Def.: Ha $(X,||\cdot ||)$ NT, akkor $x,y\in X$ elemek tavolsagan az $||x-y||$ szamot ertjuk.

peldak:

1. $X=\mathbb{R}$ es $||\cdot ||=|\cdot |$
2. $X={\mathbb{R}}^n$ a kovetkezo normakkal:
   1. $||x|{|}_1:=\sum |x_j|$
   2. $||x|{|}_2:=\sqrt{\sum |x_j{|}^2}$
   3. $||x|{|}_{\infty }:=\max \{|x_j|\}$
   4. $||x|{|}_p:={\left(\sum |x_j{|}^p\right)}^{1/p}$
      Ha $p\to \infty ⟹||x|{|}_p\to ||x|{|}_{\infty }$ $\forall x\in X$
3. $X=C[a,b]$ a kovetkezo normakkal:
   1. $||f|{|}_{\infty }:={\max }_{x\in [a,b]}|f(x)|$
   2. $||f|{|}_{\int }:={\int }_a^b|f(x)|dx$

Fontos fogalmak normalt terekben

1. Hibafogalmak

Legyen $(X,||\cdot ||)$ egy tetszoleges NT, $a,\tilde{a}\in X$

• $\tilde{a}$ abszolut hibaja: $a-\tilde{a}\in X$
• $\tilde{a}$ abszolut hibakorlatja: ${\Delta }_a$ szam, melyre $||a-\tilde{a}||\le {\Delta }_a$
• $\tilde{a}$ relativ hibaja: $\frac{a-\tilde{a}}{||\tilde{a}||}\in X$
• $\tilde{a}$ relativ hibakorlatja: $\frac{||a-\tilde{a}||}{||\tilde{a}||}\le {\delta }_a\in \mathbb{R}$

2. Konvergencia

Def.: Amh az $(X_n)\subset X$ sorozat konvergens, ha $\exists x\in X$: $||x_n-x||\to 0$.

Matrixnormak

Tudjuk: az ${\mathbb{R}}^{n\times n}$-es matrixok a rajta ertelmezett $+$ es $\lambda$-val valo szorzas muveletekkel vektorteret alkotnak.

Q.: Hogyan definialhato rajta norma?

Def.: Legyen $||\cdot |{|}_{{\mathbb{R}}^n}$ egy ${\mathbb{R}}^n$ -beli vektornorma. Ekkor az $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ matrix ezen vektornorma altal indukalt matrixnormajanak a kovetkezo szamot ertjuk:

$$||A||:=\underset{x\in {\mathbb{R}}^n,x\ne 0}{\sup }\frac{||Ax|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}{||x|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}$$

Jelentesek:

• $||Ax|{|}_{{\mathbb{R}}^n}$ az $Ax$ vektor “hossza”
• $\frac{||Ax|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}{||x|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}$ : hanyszorosara nyujtotta $A$ matrix az $x$ vektort
• ${\sup }_{x\in {\mathbb{R}}^n,x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}{||x|{|}_{{\mathbb{R}}^n}}$ : lehetseges legnagyobb megnyujtasnak az erteke

peldak:

\lvert \lvert I \rvert \rvert = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}, x \neq 0} \frac{\lvert \lvert Ix \rvert \rvert _{\mathbb{R}^{n}}}{\lvert \lvert x \rvert \rvert _{\mathbb{R}^{n}}} = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}, x \neq 0} \frac{\lvert \lvert x \rvert \rvert }{\lvert \lvert x \rvert \rvert } = \sup 1 = 1$$ Tehat barmelyik $\lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{\mathbb{R}^{n}}$ norma altal indukalt matrixnormaban $\lvert \lvert I \rvert \rvert = 1$. A sup-norma kiszamitasa a tanult vektornormak eseten: 1. Ha $\lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{\mathbb{R}^{n}} = \lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{1}$ , akkor:

\lvert \lvert A \rvert \rvert = \lvert \lvert A \rvert \rvert {1} = \max{j \in { 1, \dots, n }} \sum_{i = 1} ^{n} \lvert a_{ij} \rvert

$$maxoszloposszeg!peldaul:$$

\begin{bmatrix}
-2 && 1 \
0 && 3
\end{bmatrix}

\implies \lvert \lvert A \rvert \rvert_{1} = \max { \lvert -2 \rvert + \lvert 0 \rvert, \lvert 1 \rvert + \lvert 3 \rvert } = 3

2. Ha $\lvert \lvert \cdot \rvert \rvert = \lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{2}$, akkor:

\lvert \lvert A \rvert \rvert = \lvert \lvert A \rvert \rvert_{2} = \sqrt{ \lambda_{\max} (A^{T}A) }

ahol $\lambda_{\max}$ a legnagyobb sajaterteket jeloli. Neve: "spektralnorma", mert a sajatertekek halmazat "spektral"-nak nevezik. 2. Ha $\lvert \lvert \cdot \rvert \rvert = \lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{\infty}$, akkor:

\lvert \lvert A \rvert \rvert = \lvert \lvert A \rvert \rvert_{\infty} = \max_{i \in { 1, \dots, n }} \sum_{j=1}^{n} \lvert a_{ij} \rvert

$$maxsorosszeg!peldaul:$$

\begin{bmatrix}
-2 & 1 \
0 & 3
\end{bmatrix}
\implies \lvert \lvert A \rvert \rvert _{\infty} = \max { \lvert -2 \rvert + \lvert 1 \rvert , \lvert 0 \rvert + \lvert 3 \rvert } = 3

***All***.: Az indukalt matrix normakra igazak: 1. $\lvert \lvert Ax \rvert \rvert \leq \lvert \lvert A \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert x \rvert \rvert$ $\forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $\forall x \in \mathbb{R}^{n}$. 2. $\lvert \lvert I \rvert \rvert = 1$ (lattuk). 3. $\lvert \lvert A \cdot B \rvert \rvert \leq \lvert \lvert A \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert B \rvert \rvert$ $\forall A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ (szub multiplikativitas). ***Megj***.: Vannak egyeb, nem indukalt matrix normak. peldaul: 1. $\lvert \lvert A \rvert \rvert_{max? \text{ nincs neve}} = \max_{i, j} \lvert a_{ij} \rvert$ 2. $\lvert \lvert A \rvert \rvert_{osszeg? \text{ nincs neve}} = \sum_{i, j = 1} ^{n} \lvert a_{ij} \rvert$ 3. $\lvert \lvert A \rvert \rvert_{F} = \sqrt{ \sum_{i, j = n} ^{n} a_{ij}^{2} }$ (Frobenius norma) Ezekre a tulajdonsagok nem mindig teljesulnek. ## Kondicioszam Terjunk vissza a pertulbalt linearis egynlet rendszerek probeleajara. Tekintsuk az (1)

\begin{equation}
Ax = b
\end{equation}

lin sys eqs -t, ahol $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $\det A \neq 0$, $b \in \mathbb{R}^{n}$ Tfh $b$ helyett a pertulbalt $\tilde{b}$ van a jobb oldalon (1)':

\begin{equation}
A\tilde{x} = \tilde{b}
\end{equation}

$$jelolje:$$

\Delta x = x- \tilde{x} \implies \tilde{x} = x - \Delta x

\Delta b = b - \tilde{b} \implies \tilde{b} = b - \Delta b

A\tilde{x} = \tilde{b}

A(x - \Delta x) = b - \Delta b

Ax - A\Delta x = b - \Delta b

A\Delta x = \Delta b

\Delta x = A^{-1}\Delta b

Valamelyik $\mathbb{R}^{n}$-beli normaban:

\lvert \lvert \Delta x \rvert \rvert = \lvert \lvert A^{-1}\Delta b \rvert \rvert \leq \lvert \lvert A^{-1} \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert \Delta b \rvert \rvert

b = Ax

\lvert \lvert b \rvert \rvert = \lvert \lvert Ax \rvert \rvert \leq \lvert \lvert A \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert x \rvert \rvert

\frac{1}{\lvert \lvert x \rvert \rvert } \leq \lvert \lvert A \rvert \rvert \cdot \frac{1}{\lvert \lvert b \rvert \rvert }

\implies \frac{\lvert \lvert \Delta x \rvert \rvert }{\lvert \lvert x \rvert \rvert } \leq \lvert \lvert A^{-1} \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert A \rvert \rvert \cdot \frac{\lvert \lvert \Delta b \rvert \rvert }{\lvert \lvert b \rvert \rvert }

\text{Ha } \lvert \lvert A^{-1} \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert A \rvert \rvert \text{ nagy, akkor nem annyira eles a becsles}

***Jel***.: $\lvert \lvert A^{-1} \rvert \rvert \cdot \lvert \lvert A \rvert \rvert := \operatorname{cond}(A)$: "Az $A$ matrix kondicio szama". Amh a lin sys eq rosszul kondicionalt, ha $\operatorname{cond}(A) \gg 1$. A multkori peldat vizsgaljuk meg ujra:

A = \begin{bmatrix}
1 && 1 \
1 && 1.01
\end{bmatrix}

Alkalmazzuk az $\lvert \lvert \cdot \rvert \rvert_{1}$ altal indukalt matrix normat!

\lvert \lvert A \rvert \rvert _{1} = 2.01

A^{-1} =
\begin{bmatrix}
101 && -100 \
-100 && 100
\end{bmatrix}
\implies \lvert \lvert A^{-1} \rvert \rvert _{1} = 201

\operatorname{cond}(A) = 201 \cdot 2.01 = 404.01 \gg 1

$\implies$ rosszul kondicionalt volt az egyenlet rendstzer! related: [[NumMod 1]]