Iterált függvénysorozatnak fixpontja

áll

Áll.: Adott $(X,\rho )$ metrikus tér, $f:(X,\rho )\to (X,\rho )$ folytonos függvény.
Legyen $a_n=f^{[n]}(a)$.
Ekkor, ha $a_n$ konvergens és ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=p$, akkor $f(p)=p$.

Biz.:

$$p=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }f(f^{[n]}(a))=\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)=f(p)$$ $$⟹p=f(p)$$

Dependencies:

• Fixpont
• Metrikus tér