TovFejAnal het 4

date: 2024.03.05

peldak ONB-re:
1.) $H={\ell }^2$
$e^1=1,0,,\dots ),e^2=(0,1,0,\dots ),e^j=(0,0,\dots ,1_j,\dots )$
Áll.: Ez egy ONB ${\ell }^2$-ben
Biz.: Mert a fourier sor eloallitas teljesul
$x\in {\ell }^2:x={\sum }_{j=1}^{\infty }(x,e^j)\cdot e^j$
$(x,e^j)=x_j$
Kell: $x={\sum }_{j=1}^{\infty }{x}_j\cdot e^j$
Ehhez az kell, hogy $x={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{j=1}^n{x}_j\cdot e^j={\lim }_{n\to \infty }(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n,0,0,\dots )$.
$\Vert x-(x_1,x_2,\dots ,x_n,0,0,\dots ){\Vert }_{{\ell }^2}\to 0,n\to \infty$
$\Vert 0,0,0,\dots ,x_{n+1},x_{n+2},\dots {\Vert }_{{\ell }^2}={\sum }_{j=n+1}^{\infty }|x_j{|}^2\to 0,n\to \infty ,\text{ mert }{\sum }_{j=1}^{\infty }|x_j{|}^2<\infty$

2.) $L^2(I)$-ben

$$e_0=\frac{1}{\sqrt{2\pi }},e_{2k-1}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin (kt),e_{2k}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos (kt),k=1,2,\dots$$

All.: Ez ONB minden $I$-re, melyre $|I|=2\pi$
(nem bizonyitjuk, hogy ONB)

All.: (Basel-problem)

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

Biz.:
Azt hasznaljuk, hogy a trigonometrikus rendszer ONB $L^2(-\pi ,\pi )$-ben.
Legyen $f(t)=t\in C[-\pi ,\pi ]\subset L^2(-\pi ,\pi )$.
Teljesul a Fourier-sor eloallitas, vagyis

$$f(t)=\sum _{k=0}^{\infty }(f,e_k)\cdot e_k$$

Parseval-egyenloseg:

$$\Vert f{\Vert }_{L^2}^2=\sum _{k=0}^{\infty }|(f,e_k){|}^2$$ $$\Vert f{\Vert }_{L^2(-\pi ,\pi )}^2={\int }_{-\pi }^{\pi }t\cdot tdt={\left[\frac{t^3}{3}\right]}_{-\pi }^{\pi }=\frac{{\pi }^3}{3}+\frac{{\pi }^3}{3}=\frac{2{\pi }^3}{3}$$ $$(f,e_0)={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}tdt=0\text{, mert paratlan fuggveny szimmetrikus tartomanyon.}$$ $$(f,e_{2k})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }(\cos kt)\cdot tdt=0\text{, mert paratlan fuggveny szimmetrikus tartomanyon.}$$ $$(f,e_{2k-1})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }t\cdot \sin ktdt=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }+{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\cos kt}{k}dt\right)=$$ $$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }+0\right)=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\left[t\cdot \frac{\cos kt}{k}\right]}_{-\pi }^{\pi }=$$

Ha $k$ paros:

$$=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(\frac{\pi }{k}+\frac{\pi }{k}\right)=-\frac{2\pi }{\sqrt{\pi }k}=-\frac{2\sqrt{\pi }}{k}$$

Ha $k$ paratlan:

$$=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(-\frac{\pi }{k}-\frac{\pi }{k}\right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{k}$$

Tehat a jobboldal a kovetkezo:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2\sqrt{\pi }}{k}\right)}^2=\pi \cdot 4\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$$

Baloldal:

$$\frac{2{\pi }^3}{3}$$

bal = jobb:

$$⟹\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

Fontos kulombseg a veges dimenziohoz kepest

Legyen $(e_n)\subset H$ ONS.
$K:=\{e_n:n\in \mathbb{N}\}$ korlatos ($\Vert e_n\Vert =1$) es zart (!)
$\Vert e_n-e_m{\Vert }^2=(e_n-e_m,e_n-e_m)=(e_n,e_n)+(e_m,e_m)-2(e_n,e_m)=1+1+0=2$

$⟹$ $(e_n)$-bol nem valaszthato ki Cauchy sorozat, tehat konvergens sem.

Kompaktsag

Def.: Legyen $(X,\rho )$ egy metrikus ter. Azt modjuk, hogy $K\subset X$ kompakt, ha barmely $(x_n)\subset K$ sorozatnak van olyan $x_{n_j}$ reszsorozata, amely egy $x\in K$-hoz konvergal.

Megj.: Ez a fogalom ekvivalens a korabbival (minden nyilt fedesbol kivalaszthato veges nyilt fedes).

All.: Ha $K\subset X$ kompakt, akkor korlatos es zart.
Biz.:
1.) zartsag:
Legyen $(x_n)\subset K$ konverges, tehat $x_n\to x\in X$
Kell $x\in K$
Mivel $K$ kompakt, ezert $\exists (x_{n_j}):x_{n_j}\to a\in K$, $⟹a=x⟹x\in K$.

2.) Korlatossag ($⟺\exists K\subset B(a,r),a\in X,r>0$)
Indirekt, tegyuk fel, hogy $K$ nem korlatos. Legyen $x_1\in K$ tetszoleges.
Ekkor $\exists x_2\in K\setminus B(x_1,1)$.

Tekintsuk $B(x_1,1)\bigcup B(x_2,1)\subset B(x_1,\rho (x_1,x_2)+1)$ korlatos halmazt.

Indirekt felteves szerint $\exists x_3\in K\setminus \left(B(x_1,1)\bigcup B(x_2,1)\right)$.

Induktivan definialunk egy $(x_n)\subset K$ sorozatot, ugy, hogy $x_n\notin {\bigcup }_{j=1}^{n-1}B(x_j,1)$
Ekkor $\rho (x_n,x_m)\ge 1⟹(x_n)$ nem Cauchy-sorozat $⟹$ nem valaszthato ki konvergens reszsorozat. Ellentmondas!

Megj.: A fenti allitas megforditasa nem mindig igaz. (Veges dimenzioban igaz oda-vissza!)

All.: $({\mathbb{R}}^d,\Vert \cdot {\Vert }_p),1\le p\le \infty$ terben minden korlatos es zart halmaz kompakt. (Altalanosabban, veges dimenzios normalt terben is igaz.)

Biz.: ${\mathbb{R}}^d$-ben igaz a Bolzano-Weierstrass tetel, vagyis minden korlatos sorozatbol kivalaszthato konvergens reszsorozat. A zartsag miatt a hatarertek $\in K$.

Tetel (Hausdorff):

$(X,{\rho }_X),(Y,{\rho }_Y)$ metrikus terek, $f:X\to Y$ folytonos, $K\subset X$ kompakt. Ekkor $f(K)$ is kompakt.

Biz.: Legyen $(y_n)\subset f(K)$. Ekkor $y_n=f(x_n),n\in \mathbb{N},x_n\in K$.
Tehat $(x_n)\subset K$ kompakt $\stackrel{def}{\Rightarrow }\exists (x_{n_j})$ reszsorozat, $x_{n_j}\to x\in K$.
$f$ folytonos $⟹$ $f(x_{n_j})=y_{n_j}\to f(x)\in f(K)$

Tetel (Weierstrass):

$(X,\rho )$ metrikus ter, $f:X\to \mathbb{R}$ folytonos, $K\subset X$ kompakt. Ekkor $f$-nek van minimuma es maximuma $K$-n.

Biz.: Hausdorff $⟹f(K)\subset \mathbb{R}$ kompakt $⟹f(K)$ korlatos es zart $⟹f(K)$ -nak van legkisebb es legnagyobb eleme.

Tetel (Heine):

$(X,{\rho }_X),(Y,{\rho }_Y),f:X\to Y$ folytonos, $K\subset X$ kompakt. Ekkor $f$ egyenletesen folytonos $K$-n.

Biz.: Indirekt tegyuk fel, hogy $f$ nem egyenletesen folytonos $K$-n. Ekkor

$$\exists (x_n)\subset K,\exists (y_n)\subset K,{\rho }_X(x_n,y_n)\to 0$$

es

$${\rho }_Y(f(x_n),f(y_n))\ge \epsilon >0\forall n$$

K kompakt $⟹$ $\exists (x_{n_j})$ reszsorozat, $x_{n_j}\to x\in K$
${\rho }_X(x_{n_j},y_{n_j})\to 0⟹y_{n_j}\to x\in K$
$f$ folytonos $K$-n $⟹$ $f(x_{n_j})\to f(x)$ es $f(y_{n_j})\to f(x)$ ellentmondas, mert ${\rho }_Y(f(x),f(x))=0$.

related: TovFejAnal