5.a) KDE

Alapveto fogalmak

Def.: (KDE) Legyen $F:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ adott fuggveny. Ekkor az

$$F(t,x(t),x^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0,t\in \mathbb{R}$$

alaku egyenlet az $x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ismeretlen fuggvenyre vonatkozo $n$-edrendu KDE-nek nevezzuk.

Def.: A kovetkezo alaku feladatot elsorendu explicit differencialegyenletnek hivjuk:

$$x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),t\in \mathbb{R},$$

ahol $f\in C(T)$ valamilyen $T\subset {\mathbb{R}}^2$ tartomanyra.

Def.: Legyen $I\subset \mathbb{R}$ egy intervallum. Azt mondjuk, hogy az $x:I\to \mathbb{R}$ fuggveny megoldasa az elozo egyenletnek, ha:

• $x\in D(f)$, azaz differencialhato $I$-n.
• $\{(t,x(t)):t\in I\}\subset T$
• $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ minden $t\in I$ eseten.

Def.: A kovetkezo feladatot kezdeti ertek feladatnak hivjuk:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=f(t,x(t)),t\in \mathbb{R}\\ x(t_0)=x_0\text{(kezdeti feltetel)}\end{array}$$

ahol $(t_0,x_0)\in T$ adott.

• Rend – Az egyenletben szereplo legmagasabb derivalt rendje.
• Linearis – Az ismeretlen fuggveny csak linearisan szerepel, azaz az ismeretlen ufggveny es derivaltjai csak a valtozotol fuggo egyutthatokkal vannak megszorozva.
• Homogen – Az egyenletben nem szerepel csak a valtozotol fuggo additiv tag.

Egzisztencia es unicitas

Egzisztencia – Letezik megoldas az adott fuggveny osztalyon.

Tetel: Ha $T\subset {\mathbb{R}}^2$ tartomany es $f:T\to {\mathbb{R}}^2$ folytonos, akkor az

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=f(t,x(t))\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$

kezdeti ertek feladatnak minden $(t_0,x_0)\in T$ eseten letezik megoldasa.

Unicitas – A (letezo) megoldas egyertelmu az adott fuggveny osztalyon.

Def.: Azt mondjuk hogy az $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ KDE (rendszer) megoldasa…

1. … az $x(t_0)=x_0$ kezdeti feltetel mellett …
   • … globalisan egyertelmu, ha a KDE-nek ez a kezdeti feltetel mellett legfeljebb egy megoldasa van.
   • … lokalisan egyertelmu, ha $t_0$-nak van olyan kornyezete, ahol a kezdeti feltetelt teljesito barmely ket megoldas egyenlo.
2. … globalisan/lokalisan egyertelmu, ha barmely kezdeti feltetel mellett globalisan/lokalisan egyertelmu.

Tetel: (Cauchy–Lipschitz) Legyen $T\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ tartomany, $f:T\to {\mathbb{R}}^n$ folytonos es a masodik (vektor) valtozojaban Lipschitz fuggveny a $T$ tartomanyon. Ekkor az $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ KDE-nek minden kezdeti feltetel mellett letezik megoldasa, es az globalisan egyertelmu.

Tetel: (Picard–Lindelof) Legyen $T\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ tartomany, $f:T\to {\mathbb{R}}^n$ folytonos es a masodik (vektor) valtozojaban lokalisan Lipschitz fuggveny a $T$ tartomanyon. Ekkor az $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ KDE-nek minden kezdeti feltetel mellett letezik megoldasa, es az lokalisan egyertelmu.

Stabilitas – A megoldas folytonosan fugg az adatoktol.

Egyszeru modellek

Newton II. torvenye

$$F=ma$$

Mivel $a=x^{\prime \prime }(t)$ ezert a fenti torveny a kovetkezo differencial egyenlettel irhato le:

$$x^{\prime \prime }(t)=\frac{F(t)}{m}$$

Megoldasa a fentinek:

$$x(t)=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+x_0$$

Harmonikus rezgomozgas

$$x^{\prime \prime }(t)=-{\omega }^{2}x(t)$$

Megoldasa a fentinek:

$$x(t)=x_0\cos (\omega t)+\frac{v_0}{\omega }\sin (\omega t)$$

Radioaktiv bomlas

Tudjuk hogy mindegyik idopillanatban egy radioaktiv anyag a jelenlegi tomegenek $k$-ad resze sugarzik el.

$$x^{\prime }(t)=-kx(t)$$

Megoldasa a fentinek:

$$x(t)=C\cdot e^{-kt}$$

Lotka–Volterra modell

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=\alpha x-\beta xy,\\ y^{\prime }(t)=-\gamma y+\delta xy,\end{array}$$

ahol $\alpha ,\gamma >0$ szuletesi ratak es $\beta ,\delta >0$ halalozasi ratak.

SIR modell

• $S(t)$ – Fertozhetoek mennyisege (susceptible).
• $I(t)$ – Fertozottek mennyisege (infected).
• $R(t)$ – Gyogyultak mennyisege (recovered).

$$\{\begin{array}{l}{S}^{\prime }(t)=-\alpha S(t)I(t),\\ I^{\prime }(t)=\alpha S(t)I(t)-\beta I(t),\\ R^{\prime }(t)=\beta I(t),\end{array}$$

ahol $\alpha >0$ a fertozesi rata es $\beta >0$ a gyogyulasi rata.

Egyebek

• Lorenz modell
• Black–Scholes
• Navier–Stokes
• N-test problema

Linearis diff egyenletek es rendszerek megoldasainak eloallitasa

Elsorendu homogen eset

$$x^{\prime }(t)=a(t)\cdot x(t)$$ $$\int \frac{1}{x}dx=\int a(t)dt$$ $$A^{\prime }=a$$ $$\ln |x|=A(t)+C$$ $$x(t)=C\cdot e^{A(t)}$$

Elsorendu inhomogen eset

$$x^{\prime }(t)=a(t)x(t)+b(t)$$ $$x^{\prime }(t)-a(t)x(t)=b(t)$$

a bal oldal valaminek a derivaltja, szorozzuk meg mindket oldalt $e^{-A(t)}$-vel

$$e^{-A(t)}{x}^{\prime }(t)-e^{-A(t)}a(t)x(t)=e^{-A(t)}b(t)$$ $$(e^{-A(t)}\cdot x(t){)}^{\prime }=e^{-A(t)}b(t)$$ $$e^{-A(t)}\cdot x(t)=\int e^{-A(s)}b(s)ds$$ $$x(t)=e^{A(t)}\int e^{-A(s)}b(s)ds$$

Ha $\int e^{-A(s)}b(s)ds=B(s)+C$ akkor

$$x(t)=e^{A(t)}\cdot (B(t)+C)=C{e}^{A(t)}+B(t)e^{A(t)}$$

Itt latszik hogy $C{e}^{A(t)}$ a homogen eset osszes megoldasa es $B(t)e^{A(t)}$ az inhomogen eset egyik megoldasa.
Tehat az $x^{\prime }(t)=a(t)x+b(t)$ linearis inhomogen egyenlet megoldasa aloall a homogen egyenlet osszes megoldasanak es az inhomogen egyenlet partikularis megoldasanak osszegekent:

$$x(t)=x_h(t)+x_p(t).$$

Partikularis megoldas megtalalasa

• Allandok varialasa
• Probafuggveny modszere

Masodrendu linearis KDE

$$a(t)x^{\prime \prime }(t)+b(t)x^{\prime }(t)+c(t)x(t)=g(t)t\in I$$

Tetel: Legyen $x_p$ az egyenlet egy rogzitett megoldasa. Ekkor az egyenlet osszes megoldasa eloall a $x=x_h+x_p$ alakban, ahol $x_h$ befutja a homogen egyenlet osszes megoldasat.

Def.:

$$W(x_1,x_2)=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_1^{\prime }& x_2^{\prime }\end{array}\right|$$

Def.:

$$S_{hom}=\{x:a{x}^{\prime \prime }+b^{\prime }+cx=0\}$$

Tetel: Legyenek $x_1,x_2\in S_{hom}$ es $W(x_1,x_2)\ne 0$. Ekkor $x_1,x_2$ bazis $S_{hom}$-ban. Avagy azt mondjuk hogy $x_1,x_2$ alaprendszer.

Masodrendu homogen eset allando egyutthatokkal

$$A{x}^{\prime \prime }(t)+B{x}^{\prime }(t)+Cx(t)=0,A,B,C\in \mathbb{R},A\ne 0$$

Keressuk a megoldasok a $x(t)=k{e}^{-\lambda t}$ alakban, ekkor az eredeti egyenlet a kovetkezokeppen nez ki:

$$Ak{\lambda }^2{e}^{\lambda t}+Bk\lambda e^{\lambda t}+Ck{e}^{\lambda t}=0$$

egyszerusitve az elozot kapjuk a kovetkezot:

$$A{\lambda }^2+B\lambda +C=0$$

ezt hivjuk az eredeti egyenlet karakterisztikus egyenletenek.

1. ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$ es ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ekkor igy neznek ki a megoldasok $x_1(t)=e^{{\lambda }_{1}t}$ es $x_2(t)=e^{{\lambda }_{2}t}$
2. ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$ es ${\lambda }_1={\lambda }_2$ ekkor igy neznek ki a megoldasok $x_1(t)=e^{\lambda t}$ es $x_2(t)=\lambda e^{\lambda t}$
3. ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$ es ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ ekkor igy neznek ki a megoldasok $x_1(t)=e^{\alpha t}\cdot \cos (\beta t)$ es $x_2(t)=e^{\alpha t}\cdot \sin (\beta t)$

Masodrendu inhomogen eset

$$x(t)=x_h(t)+x_p(t)$$

Atviteli elv

Minden $n$-ed rendu explicit KDE visszavezetheto egy $n$ darab egyenletbol allo elsorendu KDE rendszerre.

$$y^{(n)}(t)-F(t,y(t),y^{\prime }(t),y^{\prime \prime }(t),\dots ,y^{(n-1)}(t))$$

Vezessuk be a kovetkezo valtozokat:

$$\begin{array}{rlr}{x}_1& =y& ⟹x_1^{\prime }=y^{\prime }=x_2\\ x_2& =y& ⟹x_2^{\prime }=y^{\prime \prime }=x_3\\ x_3& =y& ⟹x_3^{\prime }=y^{\prime \prime \prime }=x_4\\ & ⋮& \\ x_n& =y& ⟹x_n^{\prime }=y^{(n)}=F\end{array}$$

Tudunk egyszerusiteni a jelolesen ha a kovetkezo vektorokat bevezetjuk:

$$x(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right]$$ $$f(t,x(t))=\left[\begin{array}{c}{x}_2(t)\\ x_3(t)\\ x_4(t)\\ ⋮\\ F(t,x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))\end{array}\right]$$

Ezekkel a jelolesekkel arra jutunk hogy az eredeti $n$-ed rendu KDE valojaban a kovetkezo KDE rendszerrel egyenlo:

$$x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$$

Harmonikus rezges

A harmonikus rezgest a kovetkezo masodrendu differencial egyenlet irja le:

$$y^{\prime \prime }(t)=-{\omega }^{2}y(t),$$

ahol $\omega >0$ es $y:I\to \mathbb{R}$.

A fenti masodrendu differencial egyenletet az atviteli elv alapjan fel tudjuk irni ket elsorendu differencial egyenlet rendszerekent:

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)=v(t)\\ v^{\prime }(t)=y^{\prime \prime }(t)=-{\omega }^{2}y(t)\end{array}$$

Stabilitasi fogalmak

Def.: A kovetkezo feladat idoben allando megoldasat egyensulyi helyzetnek nevezzuk:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=f(t,x(t))\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$

Tehat $x^{\ast }$ egyensulyi helyzete a fentinek ha $(x^{\ast }{)}^{\prime }=0$

Def.: Azt mondjuk hogy az elozo feladat $x^{\ast }$ egyensulyi helyzete stabil, ha $\forall x_0\in {\mathbb{R}}^d:\forall \epsilon >0\exists \delta >0$ ugy hogy ha $|x_0-x^{\ast }|<\delta$ akkor $|x(t)-x^{\ast }|<\epsilon$ $\forall t>t_0$.
Def.: Azt mondjuk hogy az elozo feladat $x^{\ast }$ egyensulyi helyzete instabil, ha nem stabil.
Def.: Azt mondjuk hogy az elozo feladat $x^{\ast }$ egyensulyi helyzete aszimptotikusan stabil, ha stabil es $|x_0-x^{\ast }|<\delta$ eseten ${\lim }_{t\to \infty }|x(t)-x^{\ast }|=0$.

Intuicio:

• Stabil – korkoros mozgas.
• Instabil – Kifele spiral mozgas.
• Aszimptotikusan stabil – Befele spiral mozgas.