TovFejAnal het 10

date: 2024.04.30

Riesz-Fischer tetel ekvivalens a kovetkezovel: $(C_2,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ Banach-ter
Erre a terre bevezetjuk a kovetkezo jelolest: $L^1$-ter
Megjegyzes: Ebben a terben egy elem az egy ekvivalencia osztalyt jelent, ahol a majdnem mindenutt egyenlo fuggvenyek ekvivalensek, azaz $f\sim g⟺f=g$ m.m.

Eddig volt: Lebesgue-integralelmelet.

$\phi$ lepcsos fv

$$\phi (x)=\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot {\chi }_{I_k}$$

$I_k$ intervallum $\forall k$

$$\int \phi dx=\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot |I_k|$$

(Itt mar szerepel a Lebesgue mertek, mivel egy intervallum Lebesgue merteke az pont a hossza)

Mertekek, mertekszerinti integral (altalanosan)

Legyen $X\ne \varnothing$ alaphalmaz.

Def.:

Legyen $\mathcal{P}\subset 2^X=\{A:A\subset X\}$. Ekkor $\mathcal{P}$ felgyuru, ha:

1. $\varnothing \in \mathcal{P}$
2. $A,B\in \mathcal{P}⟹A\cap B\in \mathcal{P}$
3. Ha $A,B\in \mathcal{P}$, akkor $\exists C_1,C_2,\dots ,C_n\in \mathcal{P}$ paronkent diszjunkat, akkor

$$A\setminus B=C_1{\cup }^{\ast }\cdots {\cup }^{\ast }{C}_n$$

pelda:
$\mathcal{P}\subset 2^{\mathbb{R}}$, $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ intervallum}\}$
Biz.:

1. $(a,a)=\varnothing \in \mathcal{P}$

2. • $A\cap B=\varnothing$ az 1. pont miatt ekkor $A\cap B\in \mathcal{P}$
   • $A\subset B⟹A\cap B=A\in \mathcal{P}$
   • $A$ es $B$ altalanos helyzetu, ekkor a mettszetuk is egy intervallum, ezert $\in \mathcal{P}$
3. • $A\cap B=\varnothing$ ekkor $A\setminus B=Ain\mathcal{P}$
   • $A\subset B⟹A\setminus B\in \mathcal{P}$
   • $A$ es $B$ altalanos helyzetu intervallumok, ekkor az $A\setminus B$ ket diszjunkt intervallum unioja, azaz $A\setminus B=C_1{\cup }^{\ast }{C}_2$

pelda:
$\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$

Megjegyzes: A masodik felgyuru axiomabol kovetkezik teljes indukcioval, hogy ha $A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{P}⟹A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\in \mathcal{P}$

Def.:

Legyen $\mathcal{P}$ egy $X$-beli felgyuru. Egy $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertek, ha

1. $\mu \ge 0$
2. $\mu (\varnothing )=0$
3. $\sigma$-additivitas:
   Ha $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{P}$, paronkent diszjunktak es ez a megszamlalhato sok halmaz diszjunkt unioja is ${\bigcup }_{k=1}^{\infty }{A}_k\in \mathcal{P}$, akkor $\mu \left({\bigcup }_{k=1}^{\infty }{A}_k\right)={\sum }_{k=1}^{\infty }\mu (A_k)$.

A $(X,\mathcal{P},\mu )$ harmast mertekternek nevezzuk.

pelda:

1. $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ intervallum}\}$ es $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ ahol $\mu (I)=|I|$
2. $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$ es $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ ahol $\mu (I)=|I|$
3. $\mathcal{P}=2^A$ ahol $A\ne 0$ tetszoleges halmaz $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ ahol $B\subset A$ $\mu (B)=B$ elemszama

Def.:

Egy $\mathcal{R}\subset 2^X$ gyuru, ha

1. $\varnothing \in \mathcal{R}$
2. $A,B\in \mathcal{R}⟹A\setminus B\in \mathcal{R}$
3. $A,B\in \mathcal{R}$ diszjunktak, akkor $A{\cup }^{\ast }B\in \mathcal{R}$

Megjegyzes:

1. $A,B\in \mathcal{R}$ tetszoleges $⟹A\cup B\in \mathcal{R}$ (teljes indukcioval ekkor barhany halmazra is igaz ez az allitas)
   Biz.: $A\cup B=(A\setminus B){\cup }^{\ast }B$ es keszen is vagyunk csak az axiomakat kell alkalmaznunk.

2. $A,B\in \mathcal{R}⟹A\cap B\in \mathcal{R}$ (teljes indukcioval kovetkezik, hogy veges mettszetre is zart)
   Biz.: Legyen $A,B\in \mathcal{R}$ ekkor $A\cap B=(A\cup B)\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A))$ es itt minden tag eleme $\mathcal{R}$-nek, es keszen is vagyunk

3. Minden gyuru felgyuru is.

pelda:
$\mathcal{R}=\{B\subset A:|B|<\infty \}$

Def.:

Legyen $\mathcal{P}$ egy felgyuru. Azt mondjuk, hogy $\mathcal{R}$ a $\mathcal{P}$ altal generalt gyuru, ha $\mathcal{R}$ a $\mathcal{P}$-t tartalmazo legszukebb gyuru.

All.:

Legyen $\mathcal{P}$ tetszoleges felgyuru. Ekkor a $\mathcal{P}$ altal generalt gyuru a kovetkezo:

$$\mathcal{R}=\{P_1{\cup }^{\ast }{P}_2{\cup }^{\ast }\cdots {\cup }^{\ast }{P}_n:P_i\in \mathcal{P}\forall i,n\in \mathbb{N}\}$$

Biz.: $\varnothing$

Tetel

Minden $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertek egyertelmuen kiterjesztheto a $\mathcal{P}$ altal generalt $\mathcal{R}$ gyurure.

Biz.: $P_1{\cup }^{\ast }{P}_2{\cup }^{\ast }\cdots {\cup }^{\ast }{P}_n\in \mathcal{R}$ eseten legyen

$$\mu (P_1{\cup }^{\ast }{P}_2{\cup }^{\ast }\cdots {\cup }^{\ast }{P}_n):=\mu (P_1)+\mu (P_2)+\cdots +\mu (P_n)$$

A tovabbi resze a bizonyitasnak technikas es nem latjuk be az oran.

All.:

Legyen $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ felgyurun ertelmezett mertek. Ekkor

1. $\mu$ monoton, azaz ha $A,B\in \mathcal{P}$ olyan halmazok, hogy $A\subset B$ akkor $\mu (A)\le \mu (B)$
2. $\mu$ az $\sigma$-subadditiv, azaz, ha $A\in \mathcal{P}$ es $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{P}$ ahol ${\bigcup }_{k=1}^{\infty }{A}_k\in \mathcal{P}$ akkor $\mu (A)\le {\sum }_{k=1}^{\infty }\mu (A_k)$
3. $\mu$ folytonos, azaz, ha $A_n\subset A_{n+1}\forall n\in \mathbb{N}$ es $A_k\in \mathcal{P}\forall k\in \mathbb{N}$ es $\bigcup A_n\in \mathcal{P}$ akkor $\mu (A_n)\to \mu \left(\bigcup A_n\right)$
4. $\mu$ folytonos, azaz, ha $A_{n+1}\subset A_n$ es $A_k\in \mathcal{P}$ es $\cap A_n\in \mathcal{P}$ es $\mu (A_1)<\infty$ akkor $\mu (A_n)\to \mu (\cap A_n)$

Def.:

Egy $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertek veges, ha $\mu (P)<\infty$ $\forall P\in \mathcal{P}$

A tovabbiakban csak veges mertekekrol lesz szo, tehat $\mu$ veges merteket jelol innentol kezdve.

Def.:

Egy $A\subset X$ halmaz $\mu$-nullahalmaz, ha $\forall \epsilon >0$ $\exists (P_n)\subset \mathcal{P}$ ugy, hogy

$$A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{P}_n\text{es}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (P_n)<\epsilon$$

Def.:

Egy $T(x)$ tulajdonsag $\mu$-majdnem mindenutt ($\mu$-m.m.) igaz, ha $\{x\in X:\neg T(x)\}$ $\mu$-nullahalmaz.

pelda:
Ha $f,g:X\to \mathbb{R}$ akkor $f=g$ $\mu$-m.m. ha $\{x\in X:f(x)\ne g(x)\}$ $\mu$-nullahalmaz.

All.:

1. $\varnothing$ $\mu$-nullahalmaz.
2. Ha $A\subset X$ $\mu$-nullahalmaz, $B\subset A$, akkor $B$ is $\mu$-nullahalmaz.
3. Megszamlalhatoan sok $\mu$-nullahalmaz unioja is $\mu$-nullahalmaz.
4. $P\in \mathcal{P}$ $\mu$-nullahalmaz $⟺$ $\mu (P)=0$

Biz.: Gyakorlaton.

Def.:

$\phi$ lepcsos fv $X$-en, ha $\phi ={\sum }_{k=1}^n{c}_k\cdot {\chi }_{P_k}$ ahol $P_k\in \mathcal{P}$ $k=1,\dots ,n$

Egy $\phi$ lepcsos fv $\mu$ veges mertek szerinti integralja a kovetkezo:

$$\int \phi d\mu :=\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot \mu (P_k)$$

Innentol kezdve eljatszhato az osszes lepes amit eljatszottunk a $\mu (A)=|A|$ mertekre.

Tehat bevezetheto egy “ugyanolyan” integralelmelet, mint amit elozoleg bezettunk es minden ugyanugy igaz lesz. Azaz igaz a Beppo-Levi, Lebesgue dominalt konvergencia es a Riesz-Fischer tetel is igaz lesz.

Bevezetjuk az integralhato fuggvenyek vektorteret $C_2$-t. Azaz $C_2:=\{f:f\text{ integralhato }\mu \text{-szerint}\}$

Megjegyzes:
A Lebesgue-integral eseten a kiindulasi felgyuru es veges mertek a kovetkezo: $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$ es $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ a kovetkezokeppen definialt $\mu (I)=|I|$

Merheto fuggvenyek es halmazok

Tovabbra is $\mu$ egy veges mertek valamilyen $\mathcal{P}$ felgyurun ertelmezve.

Def.:

Egy $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ fuggveny merheto, ha $\exists ({\phi }_n)$ lepcsos fuggveny sorozat, hogy ${\phi }_n\to f$ m.m.

All.:

1. Ha $f$ integralhato fuggveny, akkor $f$ merheto is.
2. Ha $f$ es $g$ veges erteku merheto fv-ek, akkor $|f|$, $c\cdot f$, $f+g$, $f\cdot g$, $\max \{f,g\}$, $\min \{f,g\}$ is merheto.
3. Ha $f$ merheto es $f\ne 0$ m.m., akkor $\frac{1}{f}$ is merheto.
4. Ha $f_n$ merheto fv-ek es $f_n\to f$ m.m., akkor $f$ is merheto.

Biz.:

1. Ha $f$ integralhato, akkor $f=f_1-f_2$ ahol $f_1,f_2\in C_1$ es ekkor $\exists ({\phi }_n),({\psi }_n)$ lepcsos fv-ekbol allo sorozat, hogy ${\phi }_n\nearrow f_1,\psi \nearrow 2$ m.m. Ekkor ${\phi }_n-{\psi }_n$ is lepcsos fv es ekkor ${\phi }_n-{\psi }_n\to f$ m.m. Tehat $f$ is merheto definiciobol.
   A tobbit nem bizonyitjuk.

Def.:

Legyen $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ merheto fv. Ekkor $f$-nek letezik az integralja $\mu$ szerint, ha a kovetkezok valamelyik teljesul:

1. $f$ integralhato, akkor $\int fd\mu$ a felepitesbol
2. Ha $f\ge 0$ m.m. es $f$ nem integralhato, akkor $\int fd\mu :=+\infty$
3. $f=f_1-f_2$ ahol $f_1=\max \{f,0\}$ es $f_2=-\min \{f,0\}$ ekkor $f_1$ es $f_2$ is merheto es $f_1,f_2\ge 0$. Tegyuk fel, hogy valamelyik integralhato. Ekkor legyen

$$\int fd\mu =\int f_{1}d\mu -\int f_{2}d\mu$$

(ez lehet veges vagy $\pm \infty$ is)

Megjegyzes: Ha a fenti harom eset egyike sem teljesul, akkor azt mondjuk, hogy az $f$ merheto fv-nek nem letezik integralja.

Def.:

Azt mondjuk, hogy egy $A\subset X$ halmaz $\mu$-merheto, ha ${\chi }_A$ karakterisztikus fuggvenye merheto. Ekkor $\mu (A):=\int {\chi }_{A}d\mu \in [0,+\infty ]$ (mivel ${\chi }_A\ge 0$ tehat 1.-es vagy 2.-es eset teljesul az elozo definicioban)

Def.:

Egy $\mathcal{M}\subset 2^X$ $\sigma$-gyuru, ha

1. $\varnothing \in \mathcal{M}$
2. $A,B\in \mathcal{M}⟹A\setminus B\in \mathcal{M}$
3. $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{M}$ paronkent diszjunktak, akkor ${\bigcup }^{\ast }{A}_n\in \mathcal{M}$

Megjegyzes: Minden $\sigma$-gyuru gyuru is.

All.:

A fenti definialt merheto halmazok rendszere $\sigma$-gyurut alkot es az eredeti felgyurun ertelmezett mertek kiterjesztese $\mathcal{M}$-re is mertek.

Def.:

A Lebesgue mertek a Lebesgue-merheto halmazok $\sigma$-gyurujen ertelmezett kiterjesztett mertek, ahol az eredeti mertek $\mu :\mathcal{P}\to \mathbb{R}$ ahol $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$ es $\mu (I)=|I|$

Megjegyzes: Letezik nem Lebesgue-merheto halmaz, de ez csak a kivalasztasi axioma segitsegevel igazolhato.

Def.:

Egy $\mu$ merteket teljesnek nevezunk, ha minden olyan $A$ merheto halmaz eseten amelyre a $\mu (A)=0$, $A$ minden reszhalmaza is merheto.
Azaz nullmerteku halmazok reszhalmazai is merhetoek.

Def.:

Egy $\mu$ merteket $\sigma$ vegesnek nevezunk, ha minden $P\in \mathcal{P}$ eseten $\exists (A_n)$ merheto halmazokbol allo sorozat, amelyekenk a merteke veges, azaz $\mu (A_k)<\infty \forall k$ es $P\subset \bigcup A_n$

All.:

A fenti elmeletben kapott $\mu :\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertek az $\sigma$ veges es teljes.

Kovetkezmeny: A Lebesgue-mertek is $\sigma$ veges es teljes.

related: TovFejAnal