FolytMod projekt

Lorenz modell

Edward Lorenz 1963-ban írta fel az azóta róla elnevezett alábbi egyenletrendszert, amikor a konvekcióval történö hőáramlást leíró parciális egyenletrendszert vizsgálta. Legyenek $x,y,z:{\mathbb{R}}_0^{+}\to \mathbb{R}$ ismeretlen függvények és $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ paraméterek:

Note: The originial Lorenz modell is defined by $\sigma ,\rho ,\beta$ parameters. In the following equation the orignal parameters have the following mapping:

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\alpha \\ \rho & =\beta \\ \beta & =\gamma \end{array}$$

(4)

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =\alpha (y(t)-x(t))\\ y^{\prime }(t)& =x(t)(\beta -z(t))-y(t)\\ z^{\prime }(t)& =x(t)y(t)-\gamma z(t)\end{array}$$

a) Számítsuk ki a (4) Lorenz-modell egyensúlyi helyzeteit, valamint azok stabilitását a következő paraméterek értékei mellett. (Szükség lehet a harmadfokú egyenlet Cardano-féle megoldóképletére.)
(5)

$$\alpha =10,\beta =28,\gamma =8/3$$

TODO

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\alpha y-\alpha x=0\\ y^{\prime }=x(\beta -z)-y=0\\ z^{\prime }=xy-\gamma z=0\end{array}$$

b) Nézzünk utána, milyen paraméterértékek esetén fordul elő bifurkáció a rendszerben, és annak milyen a típusa, mi jellemzi.

TODO
Some simulations in LorenzAttractorBifurcation

c) Oldjuk meg a (4) feladatot numerikusan, és hasonlítsuk össze a $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ pályákat a paraméterek (5)-ben szereplő és a következő értékekre:

$$\alpha =13,\beta =10,\gamma =8/3$$

Done See LorenzAttractorDiffParams currently the initial states are $[10+n\epsilon ,10+n\epsilon ,10+n\epsilon ]$ where $n\in \{0,1,\dots ,10\}$ and $\epsilon =1e-5$
What are the initial states?

d) A paraméterek (5) értékeire vizsgáljuk meg két, közelről indított pálya időbeli lefolyását. Például:

$$\begin{array}{lll}{x}_0=2,& y_0=5,& z_0=10\\ {\tilde{x}}_0=2,1,& {\tilde{y}}_0=5,1,& {\tilde{z}}_0=10,1\end{array}$$

Mit tapasztalunk? Nézzünk utána a Lorenz-modell kezdeti feltételekre való érzékenységének.

Done
Animations in: downloads/videos/manim