NumMod 1 het 10

date: 2024.04.22

Q.: Hogyan tudjuk jellemezni, hogy egy közelítő integrál formula mennyire jó?

Egy szempont: Mennyire jól viselkedik polinomokon.

Definíció

Azt mondjuk, hogy a kvadratúra formula rendje $n$, ha a formula pontos $\forall f\in P_{n-1}$ polinomra, de létezik olyan $n$-ed rendű polinom amire már nem pontos.

például:
$t(f)$ azaz, a trapéz formula másodrendű
$k(f)$ azaz, a középponti formula is másodrendű

Q.: Hogyan kaphatunk magasabbrendű kvadratúra formulákat?

Alkalmazzuk a $k(f)$ és a $t(f)$ formulákat az $f(x)=x^2$ függvényre a $[0,1]$ intervallumon!

pontos érték: $T={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$
$k(f)=h\cdot f(c)=1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$
$t(f)=h\cdot \frac{f(0)+f(1)}{2}=1\cdot \frac{0^2+1^2}{2}=\frac{1}{2}$

Hibák:

• $T-k(f)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
• $T-t(f)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$

Észrevehető, hogy a trapéz formula hibája $-2$ -szerese a középponti formula hibájának. Azaz, $T-t(f)=-2\cdot (T-k(f))$
Kifejezve $T$ értékét:

$$T=\frac{2k(f)+t(f)}{3}$$

Az így kapott formula az $f(x)=x^2$ függvényre a $[0,1]$ intervallumon pontos.
Elnevezés: Simpson formula (vagy parabola formula):

$$s(f)=\frac{2}{3}k(f)+\frac{1}{3}t(f)=\frac{2}{3}h\cdot f(c)+\frac{1}{3}\cdot \frac{h}{2}(f(a)+f(b))=\frac{h}{6}\cdot (f(a)+4f(c)+f(b))$$

Figyelem: A rendjét a Simpson formulának még nem tudjuk, csak azért mert egy specifikus másodfokú polinomra pontos egy specifikus intervalliumon.

Interpolációs típusú kvadratúra formulák

Ötlet: Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ és $x_0,x_1,\dots ,x_n\in [a,b]$ és $p$ legyen az $(x_k,f(x_k))$ pontokra illesztett interpolációs polinom. Ekkor ${\int }_a^{b}f(x)dx$ értékét közelítsük ${\int }_a^{b}p(x)dx$ értékkel.

$$p(x)=\sum _{m=0}^n{f}_m\cdot l_m(x)$$

Tehát

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^{b}p(x)dx={\int }_a^b\sum _{m=0}^n{f}_m\cdot l_m(x)dx$$

Azt keressük, hogy az így közelített érték mennyire tér el a pontos értéktől, azaz ${\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}p(x)dx=?$
Alkalmazzuk az interpolációs polinom hibájáról szóló tételt.
Tegyük fel, hogy $f\in C^{n+1}[a,b]$ legyen $x\in [a,b]$ tetszőleges pont. Ekkor $\exists \xi \in (\min \{x,x_0\},\max \{x,x_n\})$

$$f(x)-p(x)=\frac{1}{(n+1)!}{\omega }_n(x)\cdot f^{(n+1)}(\xi )$$

De minket az intergálok külömbsége érdekel, tehát integráljunk mindkét oldalon!

$${\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}p(x)dx={\int }_a^b\frac{1}{(n+1)!}{\omega }_n(x)\cdot f^{(n+1)}(\xi )dx$$

Fontos: nem emelhetjük ki $f^{(n+1)}(\xi )$ számot a jobboldalon az integrandusból, mivel $\xi$ értéke függ $x$ értékétől.

Tekintsük az interpolációs kvadratúra formulát

$${\int }_a^{b}p(x)dx={\int }_a^b\sum _{m=0}^n{f}_m\cdot l_m(x)dx=\sum _{m=0}^n{\int }_a^b{f}_m\cdot l_m(x)dx=\sum _{m=0}^n\left({\int }_a^b{l}_m(x)dx\right)\cdot f_m$$

Az átalakítások után azt kapjuk, hogy az illesztett polinom integrálja az egy lineáris kombinációja az $f_m$ értékeknek.

Definíció

A ${\sum }_{m=0}^n{A}_m\cdot f_m$ alakú kvadratúra formulát, ahol $A_m\in \mathbb{R}$ lineáris kvadratúra formulának nevezzük.

Tehát az interpolációs kvadratúra formula is lineáris, ahol $A_m={\int }_a^b{l}_m(x)dx,m=0,\dots ,n$

Felmerülhet a kérdés, hogy tudunk-e jobb lineáris kvadratúra formulát kitalálni, mint az interpolációs kvadratúra formula.

Tétel

A ${\sum }_{m=0}^n{A}_m\cdot f_m$ lineáris kvadratúra formula akkor és csak akkor pontos $\forall f\in P_n$ polinomra, ha interpolációs típusú, azaz ha $A_m:={\int }_a^b{l}_m(x)dx,m=0,\dots ,n$

Bizonyítás:
Kezdjünk a könnyebb iránnyal, azaz lássuk be azt, hogy az interpolációs kvadratúra formula pontos minden $n$-ed rendű polinomra.
Ez az állítás könnyen következik abból a tényből, hogy $\forall f\in P_n$ polinomnak az $n+1$ darab pontra támaszkodó interpolációs polinomja saját maga, tehát a formula pontos.

A nehezebb irány az, hogy ha a formula pontos minden $n$-ed rendű polinomra, akkor az a formula interpolációs típusú.
Tegyük fel, hogy ${\sum }_{m=0}^n{A}_m\cdot f_m$ pontos $\forall f\in P_n$ polinomra. Be kell látnunk, hogy $A_j={\int }_a^b{l}_{j}dx,j=0,\dots ,n$
Tudjuk, hogy $l_j\in P_n$ azaz a feltételünk szerint ezekre az $l_j$ polinomokra pontos a formula. Ekkor $l_j$ közelítő integrálja a következő:

$$\sum _{m=0}^n{A}_m\cdot l_j(x_m)={\int }_a^b{l}_j(x)dx$$

Mivel az $l_j$ polinomok úgy voltak definiálva, hogy $l_j(x_i)={\delta }_{ij}$ azaz $l_j(x_j)=1$ és $l_j(x_i)=0$ ha $i\ne j$
Tehét a fenti egyenlet baloldalán a szumma majdnem minden tagja kiesik kivéve $l_j(x_j)$ tehát a fenti egyenlet a következőre redukálódik:

$$\begin{array}{rl}{A}_j\cdot l_j(x_j)& ={\int }_a^b{l}_j(x)dx\\ A_j\cdot 1& ={\int }_a^b{l}_j(x)dx\\ A_j& ={\int }_a^b{l}_j(x)dx\end{array}$$

Definíció

Az interpolációs kvadratúra formulát Newton-Cotes-formulának nevezzük, ha az alappontok egyenlő lépésközönként vannak felvéve.
Ezen belül zárt Newton-Cotes-formulának nevezik azt amikor $x_0=a$ és $x_n=b$ azaz az intervallum szélei is kontrolpontok.

Speciális esetek:

• $n:=1$
  Ekkor csak úgy kaphatunk zárt Newton-Cotes-formulát, ha $x_0=a$ és $x_1=b$
  Ekkor visszakapjuk a trapéz formulát. Azért jó, hogy mostmár tudjuk, hogy a trapéz formula valójában egy interpolációs típusú kvadratúra formula, mert ekkor már van formulánk a formula hibájára.

Most $n=1$ és az alappontok $x_0=a$ és $x_1=b$ és ${\int }_a^{b}p(x)dx=t(f)$. Ha $f\in C^2[a,b]$ akkor

$${\int }_a^{b}f(x)dx-t(f)={\int }_a^b\frac{1}{2!}(x-a)(x-b)\cdot f^{\prime \prime }(\xi (x))dx$$

Mivel $\frac{1}{2!}(x-a)(x-b)$ Riemann integrálható és végig nem pozitív, és $f^{\prime \prime }(\xi (x))$ folytonos, ezért az integrál-középérték tétel értelmében $\exists \kappa \in [a,b]$:

$${\int }_a^{b}f(x)dx-t(f)=f^{\prime \prime }(\kappa )\cdot {\int }_a^b\frac{1}{2}(x-a)(x-b)dx=\cdots =-\frac{h^3}{12}\cdot f^{\prime \prime }(\kappa )$$

Ebből látszik, hogy $t(f)$ másodrendű formula, mert elsőrendű $f$ függvény második deriváltja $0$ lesz minden pontba, így a hiba is $0$.

• $n:=2$
  Ekkor az alappontok a következők: $x_0=a,x_1=c=\frac{a+b}{2},x_2=b$
  Számítsuk ki a ${\sum }_{m=0}^2{A}_m\cdot f_m$ formula $A_0,A_1,A_2$ együtthatóit.

$$\begin{array}{rl}{A}_0& ={\int }_a^b{l}_0(x)dx={\int }_a^b\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}dx=\cdots =\frac{h}{6}\\ A_1& ={\int }_a^b{l}_1(x)dx=\cdots =\frac{2h}{3}\\ A_2& ={\int }_a^b{l}_2(x)dx=\cdots =\frac{h}{6}\end{array}$$

A tagokat összeadva:

$$\sum _{m=0}^2{A}_m\cdot f_m=A_0\cdot f(x_0)+A_1\cdot f(x_1)+A_2\cdot f(x_2)=\frac{h}{6}(f(a)+4f(c)+f(b))$$

Így látszik, hogy ez valójában a Simpson-formula! (Innen következik a másik elnevezése a Simpson-formulának, parabola-formula)

Képlethibája:
Ha $f\in C^4[a,b]$, akkor $\exists \kappa \in [a,b]$ melyre:

$${\int }_a^{b}f(x)-s(f)dx=-\frac{h^5}{2880}\cdot f^{(4)}(\kappa )$$

Innen már látszik, hogy a Simpson formula $4$-ed rendű, mert minden $3$ vagy kevesebb rendű polinomnak a negyedik deriváltja mindenhol $0$.

Probléma még mindig ezekkel a módszerekkel, hogy nem tudjuk tetszőleges pontossággal meghatározni a valós integrál értékét, akkor is ha bármelyik paraméterrel tartuk valahova.

Összetett kvadratúra formulák

Ötlet: lkalmazzuk szakaszonként az előbbi formulákat.

1. Összetett trapéz formula
   Osszuk fel $m$ darab egyenlő részre az $[a,b]$ intervallumot. Jelölje egy ilyen kis szakasz hosszát $\Delta h:=\frac{b-a}{m}=\frac{h}{m}$

$${\int }_a^{b}f(x)dx\sum _{i=1}^m{\int }_{x_i-1}^{x_i}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^m\frac{\Delta h}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i))=:t_m(f)$$

Mit lehet ennek az összetett formulának a hibájáról?
Ha $f\in C^2[a,b]$ akkor

$${\int }_a^{b}f(x)dx-t_m(f)=\sum _{i=1}^m-\frac{(\Delta h{)}^3}{12}\cdot f^{\prime \prime }({\kappa }_i)$$

ahol ${\kappa }_i\in [x_{i-1},x_i]$
A fenti képletet kicsit átalakítva úgy, hogy $\Delta h=\frac{h}{m}$-et írunk

$$=\sum _{i=1}^m-\frac{h^3}{12m^2}\cdot \frac{1}{m}\cdot f^{\prime \prime }({\kappa }_i)=-\frac{h^3}{12m^2}\stackrel{S}{\overbrace{\left(\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{f}^{\prime \prime }({\kappa }_i)\right)}}=-\frac{h^3}{12m^2}{f}^{\prime \prime }(\eta )$$

$f^{\prime \prime }$ $m$ darab függvény értékének az átlaga és $S\in (\min f^{\prime \prime },\max f^{\prime \prime })$ és ezt felveszi egy $\eta \in [a,b]$ helyen.

related: NumMod 1