4.b) Integralszamitas

Egyvaltozos primitiv fuggveny

Def.: Az $f$ fuggveny primitiv fuggvenye az $(a,b)$ intervallumon $F$, ha minden $x\in [a,b]$-ra $F^{\prime }(x)=f(x)$.
Tetel: (Newton–Leibniz) Legyen $f$ integralhato $[a,b]$-ben. Ha az $F$ fuggveny folytonos $[a,b]$-ben, es az $f$ fuggveny primitiv fuggvenye $(a,b)$-ben, akkor

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Def.: Legyen $f$ integralhato $[a,b]$-ben. Az

$$I(x)={\int }_a^{x}f(t)dt(x\in [a,b])$$

fuggvenyt az $f$ fuggveny integralfuggvenyenek nevezzuk.
Megj: A Newton–Leibniz tetel tehat ugy szol, hogy egy integralhato fuggvenynek akkor es csak akkor van primitiv fuggvenye, ha az integralfuggveny primitiv fuggveny.

Riemann-integral

Def.: Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ korlatos fuggveny, es legyen $F=(x_0,\dots ,x_n)$ egy felosztas $[a,b]$-n, tovabba legyen

$$m_i=\inf \{f(x):x_{i-1}\le x\le x_i\}$$

es

$$M_i=\sup \{f(x):x_{i-1}\le x\le x_i\}$$

Az

$$s_F(f)=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$$

osszeget az $F$ felosztashoz tartozo also osszegnek nevezzuk, mig az

$$S_F(f)=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1})$$

osszeget az $F$ felosztahoz tartozo felso osszegnek nevezzuk.

Def.: Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ korlatos fuggveny. Az $f$ fuggvenyt az $[a,b]$ intervallumon Riemann-integralhatonak nevezzuk, ha ${\sup }_{F\in \mathcal{F}}{s}_F={\inf }_{F\in \mathcal{F}}{S}_F$. Ezt a szamot az $f$ fuggveny $[a,b]$ intervallumhoz tartozo hatarozott integraljanak nevezzuk, es ${\int }_a^{b}f(x)dx$-szel jeloljuk.

Terulet es ivhossz

Def.: Az $R=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_d,b_d]$ tegla terfogatat $\prod (b_i-a_i)$ -vel definialjuk es $t(R)$-el jeloljuk.
Def.: Az $A$ tetszoleges ${\mathbb{R}}^d$-beli halmaz kulso merteken a kovetkezo erteket ertjuk

$$k(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{K}t(R_i):A\subset \bigcup _{i=1}^K{R}_i\right\}.$$

Def.: Az $A$ tetszoleges ${\mathbb{R}}^d$-beli halmaz belso merteken a kovetkezo erteket ertjuk

$$b(A)=\sup \left\{\sum _{i=1}^{K}t(R_i):\underset{i=1}{\overset{K}{⨆}}{R}_i\subset A\right\}.$$

Def.: A korlatos $A\subset {\mathbb{R}}^d$ halmazt Jordan-merhetonek nevezzuk, ha $b(A)=k(A)$. Az $A$ halmaz Jordan-merteke a kozos $b(A)=k(A)$ ertek, melyet $t(A)$-val jelolunk.

Def.: Az $A\subset {\mathbb{R}}^2$ halmazt normaltartomanynak nevezzuk, ha letezik $f$ es $g$ integralhato fuggvenyek $[a,b]$-n es $f(x)\le g(x)$ minden $x\in [a,b]$, melyekre

$$A=\{(x,y):x\in [a,b],f(x)\le y\le g(x)\}.$$

Tetel: Minden $A\subset {\mathbb{R}}^2$ normaltartomany merheto es a terulete

$$t_2(A)={\int }_a^b(g-f)dx.$$

Tetel: Az $f$ nemnegativ, $[a,b]$-n integralhato fuggveny altal meghatarozott forgastest merheto, es terfogata

$$t_3(B_f)=\pi \cdot {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$

Megj.: Mindegyik keresztmetszet egy kor aminek a terulete $\pi f^2(x)$, innen jon a fenti keplet.

Def.: Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tetszoleges fuggveny es legyen $a=x_0<x_1<\dots ,x_n=b$ az $[a,b]$ intervallum egy $F$ felosztasa. Az $f$ fuggveny grafikonjanak az $F$ felosztashoz tartozo beirt poligonjan az $(x_0,f(x_0)),\dots ,(x_n,f(x_n))$ pontokan osszekoto poligont ertjuk.
Def.: A $\text{graph}f$ grafikon ivhossza az osszes beirt poligon hosszaibol allo halmaz felso hatara.
Def.: Azt mondjuk hogy $f$ rektifikalhato ha a grafikonjanak ivhossza veges.

Tetel: Jelolje $s(x)$ az $f$ fuggveny grafikonjanak ivhosszat az $[a,x]$ intervallum folott. Ha $f$ folytonosan differencialhato, akkor a rektifikalhato es $s$ differencialhato es

$$s^{\prime }(x)=\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}.$$

Tetel: Ha az $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ fuggveny folytonosan differencialhato, akkor ivhossza

$${\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx.$$

Tobbszoros integral

Def.: Az $R=[a,b]\times [c,d]$ tegla felosztasan az $R_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]$ teglak rendszeret ertjuk, ahol $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ es $c=y_0<y_1<\cdots <y_k=d$.
Def.: Legyen $f:R\to \mathbb{R}$ korlatos fuggveny, es legyen

$$m_{ij}=\inf \{f(x,y):(x,y)\in R_{ij}\}$$

es

$$M_{ij}=\sup \{f(x,y):(x,y)\in R_{ij}\}.$$

Az

$$s_F(f)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{m}_{ij}\cdot t(R_{ij})$$

es

$$S_F(f)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{M}_{ij}\cdot t(R_{ij})$$

osszegeket az $f$ fuggvenynek az $F=\{R_{ij}\}$ felosztashoz tartozo also illetve felso osszegenek nevezzuk.

Def.: Legyen $f:R\to \mathbb{R}$ korlatos fuggveny. Az $f$ fuggvenyt az $R$ teglan integralhatonak nevezzuk, ha ${\sup }_{F\in \mathcal{F}}{s}_F={\inf }_{F\in \mathcal{F}}{S}_F$. Ezt a szamot az $f$ fuggveny $R$ teglan vett integraljanak nevezzuk, es ${\int }_{R}f(x,y)dxdy$-al jeloljuk.

Tetel: (Szukcessziv integralas tetele) Legyen $f$ integralhato az $R=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_p,b_p]\subset {\mathbb{R}}^p$ teglan. Ekkor

$${\int }_{R}fdx={\int }_{a_p}^{b_p}\dots \left({\int }_{a_2}^{b_2}\left({\int }_{a_1}^{b_1}f(x_1,x_2,\dots ,x_p)d{x}_1\right)d{x}_2\right)\dots d{x}_p,$$

amennyiben a megfelelo szekciofuggvenyek integralhatoak.

Tetel: Ha $f$ integralhato az $[a,b]\times [b,c]$ teglan, es $f_x$ integralhato $[c,d]$ minden $x\in [a,b]$-re es $f_y$ integralhato $[a,b]$ minden $y\in [c,d]$-re, akkor

$${\int }_a^b\left({\int }_c^d{f}_{x}dy\right)dx={\int }_c^d\left({\int }_a^b{f}_{y}dx\right)dy.$$

Vonalintegral

Def.: Legyen $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^p$ egy ${\mathbb{R}}^p$-be kepzo gorbe es legyen $f:\gamma ([a,b])\to {\mathbb{R}}^p$. Azt mondjuk, hogy az ${\int }_{\gamma }fdx$ vonalintegral letezik es erteke az $I$ szam, ha minden $\epsilon >0$-hoz van olyan $\delta >0$, hogy valahanyszor $a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b$ egy $\delta$-nal finomabb felosztas, es $c_i\in [t_{i-1},t_j]$ tetszoleges kozbulso pontok, akkor

$$\left|I-\sum _{i=1}^n⟨f(\gamma (c_i)),\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})⟩\right|<\epsilon .$$

Def.: Legyen $G\subset {\mathbb{R}}^p$ nyilt halmaz es $f=(f_1,\dots ,f_p):G\to {\mathbb{R}}^p$. Azt mondjuk, hogy az $F:G\to \mathbb{R}$ fuggveny az $f$ primitiv fuggvenye, ha $F$ differencialhato $G$-ben es $F^{\prime }=f$.

Tetel: Ha $f=(f_1,f_2,\dots ,f_p):\gamma ([a,b])\to {\mathbb{R}}^p$ es az ${\int }_{\gamma }{f}_{j}d{x}_j$ vonalintegral letezik minden $j$-re, akkor az ${\int }_{\gamma }fdx$ vonalintegral is letezik es

$$\underset{\gamma }{\int }fdx=\sum _{j=1}^p\underset{\gamma }{\int }{f}_{j}d{x}_j.$$

Tetel: (Newton–Leibniz vonalintegralra) Legyen $G\subset {\mathbb{R}}^p$ nyil halmaz, es legyen $F:G\to \mathbb{R}$ az $f:G\to {\mathbb{R}}^p$ folytonos lekepezes primitiv fuggvenye. Ekkor minden $\gamma :[a,b]\to G$ folytonos es rektifikalhato gorbere ${\int }_{\gamma }fdx=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$.

Tetel: Legyen $G\subset {\mathbb{R}}^p$ nemures nyilt halmaz, es legyen $f:G\to {\mathbb{R}}^p$ folytonos. Az $f$ fuggvenynek akkor es csak akkor van primitiv fuggvenye $G$-ben, ha barmely $G$-ben fekvo folytonos es rektifikalhato $\gamma$ zart gorbere ${\int }_{\gamma }fdx=0$.

Potencial

???

Lebesgue-mertek

Def.: A Lebesgue mertek a Lebesgue-merheto halmazok $\sigma$-gyurujen ertelmezett kiterjesztett mertek, ahol az eredeti mertek $\mu :\mathcal{P}\to \mathbb{R}$ ahol $\mathcal{P}=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$ es $\mu (I)=|I|$

Def.: Adott $E\subset \mathbb{R}$ halmaz, amelyben barmely $I=[a,b]$ intervallum hossza $l(I)=b-a$. ekkor az $E$ halmaz kulso Lebesgue-merteke az infimuma

$$\sum _{k=1}^{\infty }l(I_k)$$

-nak, ahol $I_k$ nyilt intervallumok sorozata, ugy hogy

$$E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }{I}_k.$$

Az $E$ halmaz kulso Lebesgue-merteket ${\lambda }^{\ast }(E)$-vel jeloljuk.

Def.: Ha egy $E$ halmazra igaz, hogy barmely $A\subset \mathbb{R}$-re

$${\lambda }^{\ast }(A)={\lambda }^{\ast }(A\cap E)+{\lambda }^{\ast }(A\cap \overline{E}),$$

akkor az $E$ halmaz Lebesgue-merteke megegyezik a kulso Lebesgue-mertekevel, vagyis $\lambda (E)={\lambda }^{\ast }(E)$. Amelyik halmazra nem teljesul az elozo kriterium, annak nincs Lebesgue-merteke.

L^p terek

Def.: Vezessuk be minden $X$-en merheto $f$ fuggvenyre az

$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$$

es

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\inf \{M\ge 0:|f|\le M\}$$

kifejezeseket. Ekkor $L^p$-vel azon merheto $f$ fuggvenyek halmazat jeloljuk, amelyekre $\Vert f{\Vert }_p<\infty$. Azaz

$$L^p=\{f:\Vert f{\Vert }_p<\infty \}.$$

Tetel: (Hölder) Legyenek $1\le p,q\le \infty$ konjugalt kitevok, azaz $p^{-1}+q^{-1}=1$. Ha $f\in L^p$ es $q\in L^q$, akkor $fg\in L^1$ es

$$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q.$$

Tetel: (Minkowski) Ha $f,g\in L^p$, akkor $f+g\in L^p$ es

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$

Tetel: (Riesz–Fischer) $L^p$ Banach-ter. $L^2$ Hilbert-ter.

Normalt ter es Hilbert-ter

Def.: Az $X$ nem ures halmazon ertelmezett metrikan olyan $d:X\times X\to \mathbb{R}$ fuggvenyt ertunk, amely eleg tesz barmely $x,y,z\in X$ eseten az alabbi felteteleknek:

• $d(x,y)\ge 0$
• $d(x,y)=0⟺x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

Def.: (Metrikus ter) Az nem ures $X$ halmazbol es a rajta ertelmezett $d$ metrikabol alkotott $(X,d)$ parost metrikus ternek nevezzuk.
Def.: (Teljes metrikus ter) Olyan metrikus ter, melyben minden Cauchy-sorozat konvergens a ter metrikaja szerint.

Def.: Legyen $X$ valos vektorter. $X$-beli norma olyan $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$ fuggvenyt ertunk, amely minden $x,y\in X$-re es $\lambda \in \mathbb{R}$-re eleget tesz a kovetkezo talajdonsagoknak:

• $\Vert x\Vert \ge 0$
• $\Vert x\Vert =0⟺x=0$
• $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$
• $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

Def.: (Normalt ter) Normalt teren egy $X$ vektorterbol es a rajta ertelmezett $\Vert \cdot \Vert$ normabol allo $(X,\Vert \cdot \Vert )$ part ertjuk.
Def.: Az $(X,\Vert \cdot \Vert )$ normalt terben a norma altal indukalt metrikan a $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ metrikat ertjuk.
Def.: (Banach ter) Olyan normalt ter, melyben minden Cauchy-sorozat konvergens a ter normaja altal indukalt metrika szerint.

Def.: Legyen $X$ valos vektorter. $X$-beli skaliris szorzaton olyan $(\cdot ,\cdot ):X\times X\to \mathbb{R}$ fuggvenyt ertunk, amely minden $x,y,z\in X$-re es $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$-re eleget tesz a kovetkezo tulajdonsagoknak:

• $(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$
• $(x,y)=(y,x)$
• $(x,x)\ge 0$
• $(x,x)=0⟺x=0$

Def.: (Euklideszi ter) Euklideszi teren skalaris szorzattal ellatott vektorteret ertunk.
Def.: Az skalaris szorzat altal indukalt norman a $\Vert x\Vert =(x,x{)}^{1/2}$ normat ertjuk.
Def.: (Hilbert ter) Olyan euklideszi ter, melyben minden Cauchy-sorozat konvergens a ter skalar szorzata altal indukalt norma altal indukalt metrika szerint.

Tetel: (Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij) Euklideszi terben a kovetkezo egyenlotlenseg fennal

$$|(x,y)|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$