NumMod 1 het 11

date: 2024.04.29

Előző óra végén kijöt, hogy

$${\int }_a^{b}fdx-t_m(f)=-\frac{h^3}{12m^2}{f}^{\prime \prime }(\eta )$$

Következmény:

1. Ha $f\in P_1$ akkor a formula pontos mert elsőfokú polinom második deriváltja mindig nulla
2. Feltétel szerint $f\in C^2[a,b]$ ebből következik, hogy $f^{\prime \prime }\in C[a,b]$ és ebből meg következik, hogy felülről korlátos, azaz $\exists K>0$ úgy, hogy $|f^{\prime \prime }|\le K$. Ebből következik, hogy

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-t_m(f)\right|=\frac{h^3}{13m^2}\cdot |f^{\prime \prime }(\eta )|\le \frac{h^3}{12m^2}\cdot K$$

A fenti képletbe becsempészve $\Delta h:=\frac{h}{m}$ kifejezést:

$$=\frac{h}{12}K(\Delta h{)}^2$$

Legyen $\frac{h}{12}K:=\tilde{K}$ és így a fenti képlet végső alakja:

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-t_m(f)\right|\le \tilde{K}(\Delta h{)}^2$$

Tehát ha $m$ elég nagy (azaz $\Delta h$ eléggé kicsi), akkor a hiba tetszőlegesen kicsi lesz.

Kérdés: Ha $\Delta h\to 0$, milyen gyorsan tart ez a hibakorlát $0$-hoz?

Definíció

Tegyük fel, hogy $g:K(0)\to \mathbb{R}$ olyan nulla körül értelmezett függvény, amelyhez $\exists \tilde{p}\in {\mathbb{N}}^{+}$ és $K\in \mathbb{R}$, hogy a $0$-hoz kellően közeli $t$ pontokban igaz a következő:

$$|g(t)|\le K\cdot |t{|}^{\tilde{p}}$$

Ekkor jelölje $p$ a legnagyobb ilyen tulajdonságú $\tilde{p}$ számot. Ekkor ez a bizonyos $g$ függvény $p$-ad rendben tart $0$-hoz a $0$-ban.
Jelölés: $g(t)=O(t^p)$ (“ordó $t^p$”)

Az előző eredményre visszatérve, a fenti ordó jelöléssel azt mondhatjuk, hogy

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-t_m(f)\right|=O((\Delta h{)}^2)$$

$\Delta h$	$\tilde{K}(\Delta h{)}^2$
$\frac{\Delta h}{2}$	$\tilde{K}{\left(\frac{\Delta h}{2}\right)}^2$

2. Összetett Simpson-formula

Az $[a,b]$ intevallumot felbontjuk $m$ kisebb intervallumra és minden $m$ darab kicsi intervallumban felveszünk egy segédpontot (például a kisintervallum felezőpontjá) és ebben a kisintervallumban lévő $3$ pontra illesztünk parabolát amit integrálunk. A végén összeadjuk a sok kicsi intevallumon illesztett parabola integrálját és ez lesz a közelítés az ${\int }_a^{b}fdx$ értékre.

Ha $f\in C^4[a,b]$,a akkor $\exists \eta \in [a,b]$ úgy, hogy

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-s_m(f)\right|=\left|-\frac{h^5}{2880m^4}{f}^{(4)}(\eta )\right|\le \cdots \le \widetilde{\stackrel{~}{K}}\cdot (\Delta h{)}^4=O((\Delta h{)}^4)$$

Gauss kvadratúrák

(bevezető szóban)
Továbbra is interpolációs formulákról lesz szó. Mit is mondtunk arról, hogy az alappontokat hgoyan kell felvenni. Eddig csak azt mondtuk, hogy az $[a,b]$ intervallumon vegyük fel őket, de nem mondtunk semmiféle megszorítás. Speciális ha egyenlő távolságú felosztást veszünk, akkor azt könnyű leprogramozni.
Kérdés, hogy jobb rendet is el tudunk-e érni mint általában, ha jól megválasztjuk az adatpontokat.

(táblán bevezető)
Eddig az interpolációs kvadratúra formuláknál adottnak vettük az alappontokat: $x_0,x_1,\dots ,x_n$ és láttuk, hogy a ${\sum }_{m=0}^n{A}_m\cdot f_m$ interpolációs kvadratúra formula pontos $\forall f\in P_n$ függvényre. Tehát a formula alapból legalább $n+1$ rendű, azaz annyi a rendje ahány alappont van.

Kérdés: Növelhető-e a rend az alappontok megfelelő megválasztásával?

Emlék: A középponti formula $k(f)$ is interpolációs formula, ahol egy alappont van (az intervallum felezőpontja $c$) és konstans függvényt illesztünk. Itt láttuk, hogy a középponti formula pontos elsőfokú polinomokra is, de a tételünk azt mondja, hogy csak elsőrendű a formula. Tehát ez azt jelenti, hogy ha konstans függvénnyt illesztünk, akkor ha a középpontot választjuk alappontnak, akkor magasabb rendű módszert kapunk.

A simpson-formulánál is hasonló eredmény jött ki. Csak három alappont van tehát azt várnánk, hogy harmadrendű legyen, de ha a középpontot választjuk harmadik alappontnak, akkor negyedrendet érünk el.

Tegyük fel, hogy $2$ alappont van $x_0$ és $x_1$. Kérdés: hogyan válasszuk meg ezeket, hogy minnél nagyobb rendű legyen a kvadratúra formulánk?
És legyen az egyszerűség kedvéért $[a,b]:=[-1,1]$
Ekkor az interpolációs formula a következőképpen néz ki:

$$\sum _{m=0}^1{A}_m\cdot f_m=A_0\cdot f(x_0)+A_1\cdot f(x_1)$$

ahol

$$A_0={\int }_{-1}^1{l}_0(x)dx={\int }_{-1}^1\frac{x-x_1}{x_0-x_1}dx=\frac{1}{x_0-x_1}\cdot {\left[\frac{x^2}{2}-x_1\cdot x\right]}_{-1}^1=\frac{1}{x_0-x_1}\cdot \left(\frac{1}{2}-x_1-\frac{1}{2}-x_1\right)=\frac{2x_1}{x_1-x_0}$$ $$A_1={\int }_{-1}^1{l}_1(x)dx=-\frac{2x_0}{x_1-x_0}$$

Tehát tetszőleges $x_0$ és $x_1$ esetén ez a formula pontos $\forall f\in P_1$ függvényre.

Kérdés: Meg lehet megválasztani $x_0$ és $x_1$-et úgy, hogy magasabb fokú polinomokra is pontos legyen?

Nyilvánvalóan: Egy kvadratúra formula pontos $\forall f\in P_q$ polinomra $⟺$ pontos az $f(x)=x^0,x^1,x^2,\dots x^q$ függvényekre.

Mikor lesz pontos $\forall f\in P_2$ függvényre a fenti formula?

$$A_0\cdot x_0^2+A_1\cdot x_1^2={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$$

Behelyettesítve az előbb kiszámolt $A_0$ és $A_1$ értékeket a következő egyenletet kapjuk:

$$\begin{array}{rl}\frac{2x_1}{x_1-x_0}\cdot x_0^2-\frac{2x_0}{x_1-x_0}\cdot x_1^2& =\frac{2}{3}\\ \frac{x_0{x}_1}{x_1-x_0}\cdot (x_0-x_1)& =\frac{1}{3}\\ x_0{x}_1& =-\frac{1}{3}\end{array}$$

Mikor lesz pontos $\forall f\in P_3$ polinomra? Ha pontos az $f(x)=x^3$ függvényre is.

$$\begin{array}{rl}\frac{2x_1}{x_1-x_0}\cdot x_0^3-\frac{2x_0}{x_1-x_0}\cdot x_1^3& ={\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0\\ \frac{x_0{x}_1}{x_1-x_0}(x_0^2-x_1^2)& =0\\ \frac{x_0{x}_1}{x_1-x_0}(x_0+x_1)(x_0-x_1)& =0\end{array}$$

A fenti kifejezés csak akkor $0$ ha $x_0+x_1=0$, azaz $x_0=-x_1$

A két egyenlet megoldása:

$$-x_1^2=-\frac{1}{3}⇝x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}⟹x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$A_0,A_1=?$

$$\begin{array}{rl}{A}_0& =\frac{2x_1}{x_1-x_0}=\frac{\left(2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=1\\ A_1& =\cdots =1\end{array}$$

Tehát a formula: $f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx {\int }_{-1}^{1}fdx$ és ez pontos $\forall f\in P_3$ polinomra.

Megjegyzés: $n+1$ alappont esetén a rend legfeljebb $(n+1)$-el növelhető meg.

Megjegyzés: Ha $n=2$ (azaz $3$ alappont)

$$x_0=-\sqrt{\frac{3}{5}},x_1=0,x_2=\sqrt{\frac{3}{5}}$$ $$A_0=\frac{5}{9},A_1=\frac{8}{9},A_2=\frac{5}{9}$$

Megjegyzés: Ha $[a,b]\ne [-1,1]$ akkor az $[a,b]$ intervallumot átranszformáljuk a $[-1,1]$ intervallumra és ott felvesszük a Gauss-kvadratúra alappontokat, majd visszatranszformáljuk a $[-1,1]$ intervallumot az $[a,b]$ intervallumra.

Numerikus deriválás

Legyen $f:I\to \mathbb{R}$ és $x_0,x_1,\dots ,x_n\in I$ és $x_{i+1}=x_i+h$ ahol $i=0,1,\dots ,n-1$
Kérdés:
$f^{\prime }(x_i)\approx ?$ az $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$ függvényértékek segítségével
$f^{\prime }(x_i)\approx ?$ az $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$ függvényértékek segítségével

Az első derivált közelítése

Derivált definíciója:

$$f^{\prime }(x_i)=\underset{x\to x_i}{\lim }\frac{f(x)-f(x_i)}{x-x_i}$$

Tehát

$$f^{\prime }(x_i)\approx \frac{f(x_i+h)+f(x_i)}{h}=:\Delta f_{+}$$

úgynevezett jobboldali differencia hányados.

Ha az $x_i$ ponttol van balra is értékünk:

$$f^{\prime }(x_i)\approx \frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}=:\Delta f_{-}$$

úgynevezett baloldali differencia hányados.

Ha már ezt a kettőt bevezettük, akkor vizsgáljuk a számtani közepüket:

$$\Delta f_c:=\frac{\Delta f_{+}+\Delta f_{-}}{2}=\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$$

úgynevezett centrális (vagy központi) differenciahányados.

Kérdés: Mennyire jók ezek a közelítések?

Definíció

Jelölje $f$ valamelyik deriváltját az $x_i$ pontban $Df$ és annak közelítését $\Delta f(h)$
Azt mondjuk, hogy a közelítés rendhe $p$, ha

$$|Df-\Delta f(h)|=O(h^p)$$

Állítás

A bal- és a jobboldali differenciahányados is elsőrendben közelíti egy $f$ függvény első deriváltját $x_i$-ben, ha $f\in C^2(I)$.

Bizonyítás: Csak a jobboldali differenciahányadosra.
Fejtsük Taylor-sorba $f$-et $x_i$ körül:
$\exists \eta \in [x_i,x_i+h]$ úgy, hogy

$$f(x_i+h)=f(x_i)+h\cdot f^{\prime }(x_i)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(\eta )$$

Innen a következőképpen alakíthatjuk az egyenletet:

$$\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}=f^{\prime }(x_i)+\frac{h}{2}{f}^{\prime \prime }(\eta )$$ $$⟹|f^{\prime }(x_i)-\Delta f_{+}|=\frac{h}{2}|f^{\prime \prime }(\eta )|\le K\cdot h$$

ahol $K=\frac{1}{2}|f^{\prime \prime }(\eta )|$

Állítás

A $\Delta f_c$ centrális differenciahányados másodrendben közelíti $f^{\prime }(x_i)$-t, ha $f\in C^3(I)$.

Bizonyítás:
$\exists {\eta }_1\in [x_i,x_i+h]$ és ${\eta }_2\in [x_i-h,x_i]$ úgy, hogy:

$$\begin{array}{rl}f(x_i+h)& =f(x_i)+h\cdot f^{\prime }(x_i)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(x_i)+\frac{h^3}{6}{f}^{\prime \prime \prime }({\eta }_1)\\ f(x_i-h)& =f(x_i)-h\cdot f^{\prime }(x_i)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(x_i)-\frac{h^3}{6}{f}^{\prime \prime \prime }({\eta }_2)\end{array}$$ $$⟹\Delta f_c=\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}=f^{\prime }(x_i)+\frac{h^3}{6}\cdot \frac{f^{\prime \prime \prime }({\eta }_1)+f^{\prime \prime \prime }({\eta }_2)}{2h}$$

Mivel $f^{\prime \prime \prime }\in C(i)$ ezért $\frac{f^{\prime \prime \prime }({\eta }_1)+f^{\prime \prime \prime }({\eta }_2)}{2}=f^{\prime \prime \prime }(\eta )$ ahol $\eta \in [x_i-h,x_i+h]$

Tehát

$$|f^{\prime }(x_i-\Delta f_c)|=\frac{h^2}{6}\cdot |f^{\prime \prime \prime }(\eta )|$$

tehát a centrális differenciahányados valóban másodrendű közelítés.

related: NumMod 1