NumMod 1 pset 2

1. Feladat

Adjuk meg kézzel kiszámítva az A = \left[\matrix{ 2 & -1 & 3\cr 4 & 2 & 1 \cr -6 & -1 & 2 }\right]

mátrix $LU$ felbontását, miután ellenőriztük, hogy létezik.

Sol.:

$${\Delta }_1=2\ne 0$$ $${\Delta }_2=\det \left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 2\end{array}\right]=2\cdot 2+4\cdot 1=8\ne 0$$ $${\Delta }_3=\det \left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 2& 1\\ -6& -1& 2\end{array}\right]=48\ne 0$$

Tehat letezik LU-felbontas, most szamitsuk is ki!

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 2& 1\\ -6& -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{l}_{11}& 0& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& u_{12}& u_{13}\\ 0& 1& u_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=L\cdot U$$ $$⟹L=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 4& 4& 0\\ -6& -4& 6\end{array}\right],U=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& 1& -\frac{5}{4}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. Feladat

Igazoljuk a felsőháromszög-mátrixok alábbi tulajdonságait! (alsóháromszögmátrixokra analóg)

1. Két felsőháromszög-mátrix szorzata szintén felsőháromszög-mátrix.
   Csoportot alkotnak es ez volt lin alg oran.
2. Determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata.
   Ez az egyetlen permutacio amiben nincsen $0$ elem.
3. Sajátértékei éppen a főátlóban lévő elemei a megfelelő multiplicitással.
   Karakterisztikus polinomja: ${\mathcal{P}}_A=\det (xI-A)$ mely szinten felso/also haromszog matrix, tehat a determinansa $=\mathrm{Tr}A={\Pi }_{i=1}^n(x-a_{ii})$, es mivel a sajatertekek pontosan a karakterisztikus polinom gyokei, ezert a sajatertekek $a_{ii}$ elemek.
4. Egy felsőháromszög-mátrix inverze szintén felsőháromszög-mátrix.
   Csoportot alkotnak es ez volt lin alg oran.

3. Feladat

Előadáson láttuk, hogy az $LU$ felbontásban az $U$ mátrix főátlóbeli elemei 1-esek voltak, míg az $L$ mátrix főátlóbeli elemei (általában) nem. Egy $A$ mátrix $LU$ felbontásának segítségével mutassuk meg, hogy létezik egy másik $\tilde{L}DU$ felbontás, ahol $\tilde{L},U$ főátlóbeli elemei 1-esek, $D$ pedig diagonális.

Sol.:
Legyen $\tilde{L}D=L$

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& d_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & d_{nn}\end{array}\right]$$

Tovabba jelolje ${\tilde{l}}_j$ az $\tilde{L}$ $j$-edik sorat es $l_j$ az $L$ $j$-edik sorat. Ekkor legyen ${\tilde{l}}_j\cdot d_{jj}=l_j$, es $d_{jj}=l_{jj}$, ezekkel az ertekekkel $\tilde{L}$-nek mar valoban csupa $1$-es lesz a foatlojaban.

4. Feladat

Adjuk meg az 1. feladatbeli mátrix $LDU$ felbontását.

Sol.:

$$⟹L=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 4& 4& 0\\ -6& -4& 6\end{array}\right],U=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& 1& -\frac{5}{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ $$⟹\tilde{L}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ -3& -1& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$$

5. Feladat

Tegyük fel, hogy $A$ egy szimmetrikus pozitív definit mátrix. Hogyan tudjuk meghatározni a Cholesky-felbontását az $LDU$ felbontás segítségével, mi az összefüggés a kettő között?

6. Feladat

Legyen A=\left[\matrix{2 & -1 & 0\cr -1 & 2 & -1\cr 0 & -1 & 2}\right]

Ellenőrizzük, hogy az $A$ mátrixnak lesz Cholesky-felbontása, majd adjuk is meg!

Sol.:
Tudjuk, hogy $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ akkor es csak akkor pozitiv definit, ha minden bal felso aldeterminansa $>0$.
Ellenorizzuk ezt le!

$${\Delta }_1=2>0$$ $${\Delta }_2=\det \left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=4+1=5>0$$ $${\Delta }_3=\det A=4>0$$

Nem csak pozitív definit de szimmetrikus is, tehat teljesul a Cholesky-felbontas osszes kriteriuma.

7.* Feladat

(Összefüggés $L$ és $A$ gyöke közt a Cholesky-felbontásban)

Vezessük be egy négyzetes mátrix poláris felbontásának fogalmát. $B$ négyzetes mátrix felírható $B=UP$ (vagy $B=PU$) alakban, ahol $P=(B^{\ast }B{)}^{1/2}$. A mátrix gyöke értelmezhető, ugyanis $B^{\ast }B$ szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, így a sajátérték felbontásban felírható $(B^{\ast }B{)}^{1/2}=V{D}^{1/2}{V}^{\ast }$ egy $V$ ortogonális mátrix mellett. A kapott $U=B{P}^{-1}$ (vagy $U=P^{-1}B$) mátrix unitér (mutassuk meg). Ezt a felbontás hívjuk a $B$ mátrix poláris felbontásának.

Mutassuk meg, hogy egy $A$ szimmetrikus pozitív definit mátrix esetén a Cholesky-felbontásból származó $L$ mátrixra, ha $L=UP$ az $L$ mátrix poláris felbontása, teljesül hogy

$L{U}^{-1}=\sqrt{A}.$

8. Feladat

Írjunk programot, amely egy adott négyzetes mátrixra kiszámolja a sarokdeterminánsait!

import numpy as np
 
def compute_left_upper_determinants(A):
	n = A.shape[0]
	deltas = []
	for i in range(n):
		determinant = np.linalg.det(A[0:i, 0:i])
		deltas.append(determinant)
	return deltas

9. Feladat

Írjunk programot, amely eldönti, hogy a mátrix szigorúan diagonálisan domináns-e vagy sem!

import numpy as np
 
def sol_9(A):
	n = A.shape[0]
	for i in range(n):
		if 2*A[i, i] <= np.sum(np.abs(A[i, :], axis = 1):
			return False
	return True

10. Feladat

Írjunk programot, mely kiszámítja az alábbi egyenletrendszer megoldását a Cramer-szabály, illetve a Gauss-módszer segítségével!

8 & -6 & -7 & 5 \cr 2 & -1 & -2 & 1 \cr 6 & 1 & -9 & 2 \cr -2 & -5 & 4 & 0 \cr }\right] \cdot \left[ \matrix{ x_1 \cr x_2 \cr x_3 \cr x_4}\right] = \left[ \matrix{ -28 \cr -7 \cr-23 \cr 8}\right]

import numpy as np
 
 
def cramers_rule(A, b):
	n = A.shape[0]
	x = []
	det = np.linalg.det(A)
	for i in range(n):
		Ai = A.copy()
		Ai[:, i] = b
		xi = np.linalg.det(Ai) / det
		x.append(xi)
	return x
 
 
def gauss_elim(A, b):
	n = A.shape[0]
	

related: NumMod 1