Kontrakció iterálása Cauchy

lemma

Lemma: Adott $(X,\rho )$ metrikus tér, $f:(X,\rho )\to (X,\rho )$ kontrakció.
Ekkor az $a_n=f^{[n]}(a)$ sorozat Cauchy.

Biz.:
$n,m>N$

$$\rho (a_n,a_m)=\rho \left(f^{[n]}(a),f^{[m]}(a)\right)\le \frac{1}{1-K}\left(\rho \left(f^{[n]}(a),f(f^{[n]}(a))\right)\right)+\rho \left(f^{[m]}(a),f(f^{[m]}(a))\right)$$ $$=\frac{1}{1-K}\left(\rho \left(f^{[n]}(a),f^{[n+1]}(a)\right)+\rho \left(f^{[m]}(a),f^{[m+1]}(a)\right)\right)\le \frac{1}{1-K}\left(K^n\rho \left(a,f(a)\right)+K^m\rho \left(a,f(a)\right)\right)$$ $$=\frac{K^n+K^m}{1-K}\rho (a,f(a))\to 0\text{, ha }N\to \infty$$

Dependencies:

• Cauchy sorozat
• Iterált függvény
• Metrikus tér
• Kontrakció
• Fundamentális kontrakciós egyenlőtlenség