Tétel 1.2

tétel-biz

Tétel.:

1. Ha $\gamma$ Lipschitz, akkor rektifikálható.
2. Ha $\gamma \in C^1$ , akkor $L(\gamma )<\infty$ és $L(\gamma )={\int }_a^b\sqrt{(}\sum {\gamma }_j^{\prime })$.

Biz.:

1. rész

$$\begin{array}{c}\gamma \text{ Lipschitz }⟺x,y\in [a,b],|{\gamma }_j(x)-{\gamma }_j(y)|\le K\cdot |x-y|\end{array}$$ $$\begin{array}{c}⟹|\gamma (x)-\gamma (y)|=\sqrt{\sum _{j=1}^d({\gamma }_j(x)-{\gamma }_j(y){)}^2}\le K\cdot |x-y|\end{array}$$ $$⟹\sum _{j=1}^d|\gamma (t_j)-\gamma (t_{j-1})|\le \sum _{j=1}^{d}dK(t_j-t_{j-1})=d\cdot K\cdot (b-a)$$ $$⟺\forall \text{beıˊrhatoˊ poligonra a hossza }\le d\cdot K\cdot (b-a)$$

2. rész

Tétel 1.1 $⟹$ $\gamma$ Lipschitz, ha $C^1$ $⟹L(\gamma )<\infty$.

Lemma 1.2.1