Euler formula

tétel-biz

Tétel: $z\in \mathbb{C}:e^{iz}=\cos (z)+i\sin (z)$

Biz.:
Elemi komplex változós függvények emlék:

$$e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}$$ $$\sin (z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ $$\cos (z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}$$

Tehát ha felírjuk $e^{iz}$ sorfejtését:

$$e^{iz}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(iz{)}^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos (z)+i\sin (z)$$