TovFejAnal het 11

date: 2024.05.07

Ismetles / bovites

$\mathcal{P}$ felgyuru: $\varnothing \in \mathcal{P}$, $\cap$-zart, $A,B\in \mathcal{P}⟹A\setminus B=C_1{\cup }^{\ast }\cdots {\cup }^{\ast }{C}_n\in \mathcal{P}$ (ahol $C_i\in \mathcal{P}$)

$\mu :\mathcal{P}\to {\overline{\mathbb{R}}}_{+}$ $\mu \ge 0$ $\mu (\varnothing )=0$ es $\sigma$-additiv (${\cup }^{\ast }{A}_n\in \mathcal{P}⟹\mu ({\cup }^{\ast }{A}_n)=\sum \mu (A_n)$)

$\mathcal{R}$ gyuru: $\varnothing \in \mathcal{R}$, $\setminus$-zart, ${\cup }^{\ast }$-zart $⟹$ $\mathcal{R}$ $\cap$-zart es $\cup$-zart

All

$\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertek egyertelmuen kiterjesztheto a $\mathcal{P}$ altal generalt gyurure. ($\mathcal{P}$ felgyuru)

$\mathcal{M}$ $\sigma$-gyuru: $\varnothing \in \mathcal{M}$, $\setminus$-zart, $A_n\in \mathcal{M}$ $\forall n$, diszjunktak, akkor ${\cup }^{\ast }{A}_n\in \mathcal{M}$

$X$ ($\ne \varnothing$) alaphalmaz, $\mathcal{P}\subset 2^X$
Legyen $\mu :\mathcal{P}\to \mathbb{R}$ veges mertek valamilyen $\mathcal{P}$ felgyurun. Ekkor definialhatjuk a kovetkezot

$$\phi =\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot {\chi }_{p_k},p_k\in \mathcal{P},k=1,..,n$$

lepcsos fuggveny.

Ennek az integralja a kovetkezo:

$$\int \phi d\mu =\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot \mu (p_k)\in \mathbb{R}$$

Def

Egy $f:X\to \mathbb{R}$ merheto, ha $\exists ({\phi }_n)$ lepcsos fuggveny sorozat ugy, hogy ${\phi }_n\to f$ $\mu$-m.m.

Volt: $\mu$ veges mertekbol kiindulva bevezettuk az integralhato fuggvenyek vektorteret. Ezek fuggvenyek halmazat neveztuk $C_2$-nek.
Ezeknek a fuggvenyeknek veges az integralja, azaz $f\in C_2$ eseten $\int fd\mu <\infty$

Def

1. $f\ge 0$ merheto fuggveny, ami nem integralhato, akkor $\int fd\mu :=+\infty$
2. $f_{+}:=\max \{f,0\}$, $f_{-}:=-\min \{f,0\}$ (figyelem, igy $f_{+}\ge 0$ es $f_{-}\ge 0$) es ezek a fuggvenyek merhetoek.
   Ha $f_{+}$ es $f_{-}$ kozul valamelyik integralhato, akkor definialhato az $f$-nek az integralja a kovetkezo modon:

$$\int fd\mu =\int f_{+}d\mu -\int f_{-}d\mu \in \overline{\mathbb{R}}$$

All

1. Legyen $f$ merheto fuggveny es $\exists \int fd\mu$, es tegyuk fel, hogy $f=g$ m.m. Ekkor $\exists \int gd\mu$ es

$$\int fd\mu =\int gd\mu$$

2. Legyen $f$ es $g$ merheto fuggvenyek es mindkettonek letezik integralja. Tovabba $f\le g$ m.m. Ekkor

$$\int fd\mu \le \int gd\mu$$

3. Legyen $f$ merheto fuggveny es tegyuk fel, hogy letezik az integralja es legyen $c\in \mathbb{R}$ tetszoleges valos szam. Ekkor $c\cdot f$-nek is letezik integralja es

$$\int c\cdot fd\mu =c\cdot \int fd\mu$$

Konvencio szerint ebben a temakorben $0\cdot (+\infty ):=0$

4. Legyen $f$ es $g$ merheto fuggvenyek es mindkettonek letezik az integralja. Tegyuk fel, hogy $\int fd\mu$ es $\int gd\mu$ nem ellentetes elojelu vegtelenek. Ekkor (!) letezik az osszeguk integralja es ez a kovetkezo:

$$\int (f+g)d\mu =\int fd\mu +\int gd\mu$$

5. Beppo-Levi tetel altalanositasa: Legyen $f_n\ge 0$ m.m. es merheto es tegyuk fel, hogy $f_n\nearrow f$ m.m. Ebbol kovetkezik, hogy $f$ is merheto es a hatarertek integralja letezik es merheto es a kovetkezokeppen nez ki:

$$\int f_{n}d\mu \to \int fd\mu$$

6. Legyen $(g_n)$ merheto fuggvenyek sorozata, $g_n\ge 0$ m.m. Ekkor $\sum g_n$ is merheto (ez volt altalaban), letezik az integralja es teljesul az, hogy

$$\sum \int g_{n}d\mu =\int \sum g_{n}d\mu$$

All

Egy $f$ fuggveny pontosan akkor merheto, ha $\forall 0<c<\infty$ valos szam eseten a kovetkezo, ugynevezett nívóhalmazok merhetok.

$$\{f<c\}=\{x\in X:f(x)<c\}=f^{-1}((-\infty ,c))$$ $$\{f>c\}=\{x\in X:f(x)>c\}$$ $$\{f\le c\}=\{x\in X:f(x)\le c\}$$ $$\{f\ge c\}=\{x\in X:f(x)\ge c\}$$

Def

Az $A\subset X$ halmazra azt mondjuk, hogy merheto, ha ${\chi }_A$ merheto fuggveny.

All

Ha $A$ egy merheto halmaz, akkor

$$\mu (A):=\int {\chi }_{A}d\mu \in [0,+\infty ]$$

All

Az ily modon definialt merheto halmazok egy $\mathcal{M}$ $\sigma$-gyurut alkotnak. Erre a kiterjesztett merteket is $\mu$-vel jeloljuk.
Tovabba, a kiterjesztett halmazfuggveny is mertek az $\mathcal{M}$-en, tovabba, $\sigma$-veges es teljes.

Ha a fenti konstrukciot a $\mu :\mathcal{P}\to \mathbb{R}$, $\mathcal{P}:=\{I\subset \mathbb{R}:I\text{ korlatos intervallum}\}$ es egy ilyen $I$ merteke a kovetkezo $\mu (I):=|I|$. Ha ebbol kiindulva vegezzuk, akkor a kepzett $\mathcal{M}$ $\sigma$-gyuru a Lebesgue-merheto halmazok $\sigma$-gyuruje, az erre kiterjesztett mertek a Lebesgue-mertek ($\lambda$).

Volt allitas a mertek tulajdonsagaira:
a) monotonitas
b) $\sigma$-szubadditivitas
c) folytonossag $A_n\subset A_{n+1}$ $A_n\in \mathcal{P},\cup A_n\in \mathcal{P}⟹\mu (A_n)\to \mu (\cup A_k)$
d) folytonossag $A_{n+1}\subset A_n$ $\cap A_n\in \mathcal{P},\mu (A_1)<\infty ⟹\mu (A_n)\to \mu (\cup A_k)$

pelda:
d)-ben fontos a $\mu (A_1)<\infty$ feltetel
Legyen

$$A_n:=[n,+\infty )\forall n\in \mathbb{N}$$ $$\mu (A_n)=\infty \forall n\in \mathbb{N}$$ $$\bigcap _{n=1}^{\infty }=\varnothing$$

es $\mu (A_n)=+\infty \nrightarrow 0=\mu (\varnothing )$

Integralhato fuggvenyek terei

Legyen $(X,\mathcal{M},\mu )$ egy olyan mertekter, ahol $\mathcal{M}$ $\sigma$-gyuru es $\mu :\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$
Legyen $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ merheto fuggveny

$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}\in [0,+\infty ]1\le p<\infty$$

spec. eset $p=\infty$

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }:=\inf \{M:|f|\le M\text{m.m.}\}\in [0,+\infty ]$$

belathato, hogy $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\lim }_{p\to \infty }\Vert f{\Vert }_p$

Def

$$L^p(X,\mathcal{M},\mu )=L^p:=\{f:f\text{merheto},\Vert f{\Vert }_p<\infty \}$$ $$=\{f:|f{|}^p\text{integralhato}\}1\le p<\infty$$

spec eset $p=\infty$

$$=\{f:f\text{merheto, m.m. korlatos}\}$$

All

Legyen $p$ es $q$ konjugalt kitevok, $1\le p,q\le \infty$ es $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ Ekkor

1. Holder-egyenlotlenseg
   Legyen $f\in L^p,g\in L^q$ Ekkor $f\cdot g\in L^1$ es

$$\Vert f\cdot g{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$$

2. Minkowski-egyenlotlenseg
   Legyen $f,g\in L^p$ Ekkor

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le ||f|{|}_p+||g|{|}_p$$

Kovetkezmeny: $L^p$ vektorter, sot, normalt ter ezzel a fuggvennyel ellatva. Azaz $(L^p,||\cdot |{|}_p)$ normalt ter.

Biz.:
Eloszor belatjuk, hogy $L^p$ vektorter
Legyen $c\in \mathbb{R}$ es $f\in L^p$ tetszoleges, ekkor megmutatjuk, hogy $c\cdot f\in L^p$ es, hogy $\Vert c\cdot f{\Vert }_p=|c|\cdot ||f|{|}_p$

$$\Vert c\cdot f{\Vert }_p={\left(\int |c\cdot f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}={\left(\int |c{|}^p\cdot |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}={\left(|c{|}^p\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}=|c|\cdot {\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}=|c|\cdot \Vert f{\Vert }_p$$

Legyen $f,g\in L^p$. Ekkor a Minkowski-egyenlotlenseg miatt $f+g\in L^p$ es $\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

$$\Vert f{\Vert }_p=0\stackrel{?}{\Rightarrow }f=0\text{m.m.}$$ $$1\le p<\infty \Vert f{\Vert }_{p}0⟺\int |f{|}^{p}d\mu =0\stackrel{\text{Beppo-Levi kovetkezmeny}}{\Rightarrow }{f}^p=0\text{m.m.}⟹f=0\text{m.m.}$$ $$p=\infty \Vert f{\Vert }_{\infty }=0⟺\inf \{M:|f|\le M\text{m.m.}\}=0$$

A fenti meggondolando! Azt kene ebbol kovetkeztetni, hogy $f=0$ m.m.

Tetel

$L^p$ Banach-ter minden $1\le p\le \infty$ eseten.
$L^2$ Hilbert-ter.

Biz.: (hianyos, oran nem lattuk be teljesen)
Riesz-Fischer tetel: Legyen $(f_n)$ a $\mu$ mertek szerint integralhato fuggvenyek, vagyis $(f_n)\subset L^1$. Tegyuk fel, hogy $\int |f_n-f_m|d\mu \to 0$, ha $n,m\to \infty$ ($⟺(f_n)$ $L^1$-ben Cauchy-sorozat)
Ekkor $\exists f\in L^1$ ugy, hogy $\int |f_n-f|d\mu \to 0$ ha $n\to \infty$ ($⟺f_n\to f$ $L^1$-ben)

Megjegyzes: A fenti Riesz-Fischer tetelnek az az altalanosizasa is igaz, hogy ha $|f_n-f_m|$ helyett $|f_n-f_m{|}^p$-it irunk mindenhol.

Nyilvan igaz, hogy ha $\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0⟺\Vert f_n-f{\Vert }_p^p\to 0⟺\int |f_n-f{|}^{p}d\mu \to 0$

Riesz-lemma

(ezen mulik a Riesz-Fischer tetel bizonyitasa)
Legyen $(f_n)\subset L^1$ sorozat es tegyuk fel, hogy $\int |f_n-f_m|d\mu \to 0$ $n,m\to \infty$
Ekkor $\exists (f_{n_k})$ reszsorozat, melyre:

1. $\exists g\in L^1$ melyre $|f_{n_k}|\le g\forall k$
2. $\exists f\in L^1$ melyre $f_{n_k}\to f$ m..m. (ha $k\to \infty$)

Biz.:
Legyen $\epsilon =\frac{1}{2^k}$ ahol $k\in \mathbb{N}$. A feltetel miatt $\exists (n_k)\subset \mathbb{N}$ ugy, hogy

$$\int |f_n-f_{n_k}|d\mu <\frac{1}{2^k},n\ge n_k,k\in \mathbb{N}$$

definialjuk a kovetkezo fuggvenyt:

$$|f_{n_1}|+\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|$$ $$f_{n_1}+\sum _{k=1}^{\infty }(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})$$ $$\int |f_{n_1}|d\mu +\sum _{k=1}^{\infty }\int |f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|d\mu <\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}<\infty$$

Beppo-Levi kovetkezmenye szerint $\exists g\in L^1$ amire

$$g=|f_{n_1}|+\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\ge 0$$ $$g\ge |f_{n_1}|+\sum _{k=1}^K|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\ge |f_{n_1}|+\sum _{k=1}^K(|f_{n_{k+1}}|-|f_{n_k}|)=|f_{n_K}|$$

$\forall K\in \mathbb{N}$
Igy belattuk az elso reszet az allitasnak

Masreszt, $\exists f\in L^1$ amire $f=f_{n_1}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})$ a Beppo-Levi kovetkezmenye szerint

$$S_K=f_{n_1}+\sum _{k=1}^K(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})=f_{n_K}\to f\text{ m.m.},K\to \infty$$

related: TovFejAnal