NumMod 1 konzi 1

ZH menete:

• kezdes: 12:15 -
• gepes resz: 14:00 -

kb zh feladatok:
1:

• 16. feladat (“norma-e a kovetkezo kifejezes”)
• “matrix kondicioszam szamolasa”
  2:
• “valamilyen (LU/LL^T/LDU ) felbontas kezzel”
  3:
• $\rho (Q)$ kiszamitasa es ezzel valo manipulacio
• pl Relaxalt Jabobi adott matrixra (pl 4. feladat)
  4:
• Adott egyenlet gyokeinek keresese visszavezetve fixpont iteraciora
• 6. feladat
     5:
• 6. feladat

Kondicioszam

norma $\to$ indukalt norma

$$||A|{|}_2:=\sqrt{{\lambda }_{\max }(A^{\ast }A)}=\sqrt{\rho (A^{\ast }A)}$$

ha $A^{\ast }=A$ es $A>0$ (SZPD), akkor $||A|{|}_2=\max {\lambda }_i$

Direkt megoldok

$\exists !A=LU$ felbontas, es $A=LDU$ felbontas
Ha $LU=A=A^T=(LU{)}^T=U^T{L}^T$ tehat ha $A$ szimmetrikus, akkor $L{L}^T$ felbontast kapunk.
Ugyanigy van $LD{L}^T$ felbontas.

Iterativ megoldok

$Ax=b⟹Ax-b=0$ $⟹x+(Ax-b)=x$ ekkor eleg fixpontot keresni $f(x)=x+(Ax-b)$ fuggvenyre $f(x^{\ast })=x^{\ast }$.

Banach-fixpont tétel* $f:X\to X$ teljes metrikus teren ertelmezett kontrakcio, tehat

$$||f(x)-f(y)||\le L\cdot ||x-y||L\in [0,1)$$

Ennek létezik fixpontja és lehet komponalassal konvergalni oda.

Richardson: $f(x)=x-\omega (Ax-b)$
Jacobi:
$A=(L+D+U)$
$0=Ax-b$
$0=(L+D+U)x-b$
$Dx=-(L+U)x+b$
$x=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$
Gauss-Seidel hasonlo…

$f(x)=Q+r$ (affin)
$\rho (Q)<1$
$\rho (A)\le ||A||$, ahol $||\cdot ||$ tetszoleges indukalt norma.

“Tehat rho egy infimuma minden indukalt normanak”

Roviditesek:

• SZPD
• SZDD
• M-matrix

Gersgorin tetel: “Vesszuk a a komplex sikon a korlapokat akkor ezek uniojan belul vannak a sajatertekek.”

Gradiens ereszkedes
$x\leftarrow x-\omega (Ax-b)$
$\varphi (x):=\frac{x^{T}Ax}{2}-b^{T}x$ $\varphi$ konvex $⟺$ $A\ge 0$
${\varphi }^{\prime }(x)=Ax-b$

$\varphi$ minimalizaljuk $⟺$ ${\varphi }^{\prime }$ gyokeinek megkeresese

$x_{n+1}=x_n-(\nabla \varphi )(x_n)$
$m(h,h)\le (A^{\prime }(u)h,h)\le M(h,h)$
$0<m\le M$

related: NumMod 1