ValStat pset 4

1.

Definiáljuk az alábbi diszkrét eloszlást: $\mathbb{P}(X=-1)=c,\mathbb{P}(X=1)=3c,\mathbb{P}(X=2)=1-4c$, ahol $0<c<\frac{1}{4}$ az ismeretlen paraméter. A $-1$, $1$ és $2$-es értékekből rendre a következő mennyiségűt kaptuk egy $20$ elemű mintában: $4,10,6$. Határozzuk meg $c$ maximumlikelihood-, illetve momentummódszeres becslését!

Megoldás:
MLE:

$$\begin{array}{rl}{L}_c(X_1,\dots ,X_{20})& =\prod _{j=1}^{20}\mathbb{P}(X_j=k_j)\\ & =c^4\cdot (3c{)}^{10}\cdot (1-4c{)}^6\\ & =3^{10}\cdot c^{14}\cdot (1-4c{)}^6\end{array}$$

Ennek keressük a maximumját, tehát deriváljunk!

$$\begin{array}{rl}0=L_c^{\prime }(X_1,\dots ,X_{20})& =14\cdot 3^{10}{c}^{13}\cdot (1-4c{)}^6+3^{10}\cdot c^{14}\cdot (-4)\cdot 6(1-4c{)}^5\\ 0& =(1-4c{)}^5(14\cdot 3^{10}\cdot c^{13}\cdot (1-4c)-3^{10}\cdot 24\cdot c^{14})\end{array}$$

Első eset: $(1-4c{)}^5=0⟹c=\frac{1}{4}$, de ez nem lehet, mert a feladat leírásában $c<\frac{1}{4}$.
Második eset: $14\cdot c^{13}\cdot (1-4c)-24\cdot c^{14}=0$

$$⟺14(1-4c)-24c=0\text{(le lehet osztani }c\text{-vel, mert }c>0\text{)}$$ $$\begin{array}{rl}14-56c-24c& =0\\ 14& =80c\end{array}$$ $$⟹\boxed{\frac{7}{40}=c}$$

Momentummódszer:

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_c(X_1)& =\frac{1}{20}\sum _{j=1}^{20}{X}_j\\ {\mathbb{E}}_c(X_1^2)& =\frac{1}{20}\sum _{j=1}^{20}{X}_j^2\\ {\mathbb{E}}_c(X_1^3)& =\frac{1}{20}\sum _{j=1}^{20}{X}_j^3\\ & ⋮\end{array}$$ $${\mathbb{E}}_c(X_1)=-1\cdot c+1\cdot 3c+2\cdot (1-4c)=2-6c$$ $$\frac{1}{20}\sum _{j=1}^{20}{X}_j=\frac{1}{20}(-1\cdot 4+1\cdot 10+2\cdot 6)=\frac{9}{10}$$ $$\begin{array}{rl}⟹2-6c& =\frac{9}{10}\\ \frac{11}{10}& =6c\end{array}$$ $$⟹\boxed{\frac{11}{60}=c}$$

Megfigyelés: Az ML-módszer szerint $c=\frac{7}{40}=0.175$, viszont a momentummódszer szerint $c=\frac{11}{60}=0.18\overline{3}$.