Luiville tétel

tétel-biz

Tétel: $f\in \mathcal{O}(\mathbb{C})$, $f$ korlátos: $|f|\le M$, ekkor $f\equiv$ konstans.

Biz.: $a\in \mathbb{C},r>0$
CIF deriváltra $⟹$

$$f^{\prime }(a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|\xi -a|=r}\frac{f(\xi )}{(\xi -a{)}^2}d\xi \le \frac{1}{2\pi i}\frac{M}{r^2}2\pi r=\frac{M}{ri}$$ $$|f^{\prime }(a)|\le \underset{r\to \infty }{\lim }\frac{M}{ri}=0$$ $$⟹f^{\prime }(a)=0⟹f^{\prime }\equiv 0⟹f\equiv \text{ konstans}$$