TovFejAnal het 12

date: 2024.05.14

<emlek>

$$L^p(X,\mathcal{M},\mu )=\{f:f\text{ merheto es }|f{|}^p\text{ integralhato, azaz veges az integralja}\}$$

$1\le p<\infty$ es

$$L^{\infty }(X,\mathcal{M},\mu )=\{f:f\text{ merheto}\exists M:|f|\le M\text{ m.m.}\}$$

$(X,\mathcal{M},\mu )$ mertektrer $X\ne \varnothing$ $\mathcal{M}$ a merheto halmazok $\sigma$ gyuruje es a $\mu$ a merheto halmazok $\sigma$ gyurujere kiterjesztett mertek

$$\mu :\mathcal{M}\to {\overline{R}}_{+}$$

Ha $f\in L^p$ akkor $\Vert f{\Vert }_p={\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$ ha $1\le p<\infty$ es ha $p=\infty$ akkor $\Vert f{\Vert }_{\infty }=\inf \{M:|f|\le M\text{ m.m.}\}=\mathrm{esssup}|f|$

All

$1\le p,q<\infty$ konjugalt kitevok, ha $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (definialjuk $\frac{1}{\infty }=0$)
Ekkor teljesulnek a kovetkezok:

1. Holder egyenlotlenseg: $f\in L^p,g\in L^q⟹f\cdot g\in L^1$ es $\Vert f\cdot g{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$

2. Minkowski egyenelotlenseg: $f,g\in L^p$ ekkor $\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

3. $L^p$ Banach-ter es $L^2$ Hilbert-ter

Lattuk: $\Vert f{\Vert }_2={\left(\int |f{|}^{2}d\mu \right)}^{1/2}$ ez egy skalaris szorzatbol szarmazik, ahol $(f,g{)}_{L^2}=\int f\cdot gd\mu$

Def

$(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banach-ter ekkor a kovetkezot dualis ternek hivjuk $X^{\prime }=\mathcal{L}(X,\mathbb{R})=\{\phi :X\to \mathbb{R}:\phi \text{ folytonos es linearis}\}$. A dualis ter Banach-ter ha az eredeti is az.

Ha $\phi \in X^{\prime }$ akkor

$$\Vert \phi {\Vert }_{X^{\prime }}=\min \{M:|\phi (x)|\le M\cdot \Vert x{\Vert }_X\}=\sup \{|\phi (x)|:\Vert x{\Vert }_X=1\}=\sup \left\{\frac{|\phi (x)|}{\Vert x\Vert }:x\ne 0,x\in X\right\}$$

</emlek>

Najo oke de ezt miert ideztuk fel? A kerdes az lesz, hogy mi az $L^p$ terek dualis terei?

Def

Legyen $1\le p,q\le \infty$ konjugalt kitevok, legyen $g\in L^q$ es $f\in L^p$ es $j:L^q\to (L^p{)}^{\prime }$ es $(jg)(f)=\int f\cdot gd\mu$

Bizonyitas:

$$f\cdot g\in L^1⟹(jg)(f)\in \mathbb{R}$$

kell meg: $jg$ linearis az $L^p$ teren, vagyis a

$$(jg)({\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2)\stackrel{?}{=}{\lambda }_1(jg)(f_1)+{\lambda }_2(jg)(f_2)$$ $$\int ({\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2)\cdot gd\mu \stackrel{?}{=}{\lambda }_1\cdot \int f_1\cdot gd\mu +{\lambda }_2\cdot \int f_2\cdot gd\mu$$

ez mar igaz, kesz.

kell meg: $jg$ folytonos az $L^p$-n
Legyen $f\in L^p,\Vert f{\Vert }_p\ne 0$ tetszoleges,

$$|(jg)(f)|\stackrel{\text{def}}{=}\left|\int f\cdot gd\mu \right|\stackrel{\text{Holder}}{\le }\Vert g{\Vert }_q\cdot \Vert f{\Vert }_p=M\cdot \Vert f{\Vert }_p$$

Kesz.

Megjegyzes: A fentibol az is adodik, hogy

$$\Vert jg{\Vert }_{(L^p{)}^{\prime }}\le \Vert g{\Vert }_q$$

Riesz tetel

A fenti $j:L^q\to (L^p{)}^{\prime }$ lekepezes egy izometrikus izomorfia, ha $1<p<+\infty$ es $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Bizonyitas: csak annyit latunk be, hogy $j$ egy izometria.
A kovetkezoket kell belatnunk

1. $j:L^q\to (L^p{)}^{\prime }$ linearis, vagyis $\forall {\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$ es $g_1,g_2\in L^q$ -ra

$$j({\lambda }_1\cdot g_1+{\lambda }_2\cdot g_2)={\lambda }_1\cdot j(g_1)+{\lambda }_2\cdot j(g_2)$$

Mivel mindket oldalon $(L^p{)}^{\prime }$-beli elemek allnak, azaz linearis fuggvenyek.
Kell: $\forall f\in L^p$ es

$$({\lambda }_1{g}_1+{\lambda }_2{g}_2)(f)={\lambda }_1(j{g}_1)+{\lambda }_2(j{g}_2)$$ $$\int f({\lambda }_1{g}_1+{\lambda }_2{g}_2)d\mu \stackrel{!}{=}{\lambda }_1\int f{g}_{1}d\mu +{\lambda }_2\int f{g}_{2}d\mu$$

ezzel belattuk, hogy $j$ linearis

2. $j:L^q\to (L^p{)}^{\prime }$ izometria, vagyis $\forall g\in L^q$ eseten

$$\Vert jg{\Vert }_{(L^p{)}^{\prime }}=\Vert g{\Vert }_q$$

mar az elobb belattuk, hogy a baloldal kisebb mint a jobboldal (megjegyzesben emlitettuk)

tehat mar csak azt kell belatnunk, hogy $\Vert jg{\Vert }_{(L^p{)}^{\prime }}\ge \Vert g{\Vert }_q$

Azt mutatjuk meg, hogy $\exists 0\ne f\in L^p:|(jg)(f)|=\Vert g{\Vert }_q\cdot \Vert f{\Vert }_p$ (← igeret)

Legyen $g\in L^q$ adott, ehhez kell nekunk legyartanunk egy $f\in L^p$-t
Legyen $f$ a kovetkezo (figyelem itt kihasznaljuk, hogy $1<p<\infty ⟹1<q<\infty$)

$$f:=|g{|}^{q-1}\cdot \mathrm{sgn}(g)$$

all.: $f\in L^p$
biz.:

$$\Vert f{\Vert }_p^p=\int |f{|}^{p}d\mu =\int |g{|}^{p(q-1)}\cdot 1d\mu$$

hasznaljuk ki, hogy $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1⟹pq=p+q$

$$⟹\Vert f{\Vert }_p^p=\int |g{|}^{q}d\mu =\Vert g{\Vert }_q^q=\Vert g{\Vert }_q^{p(q-1)}$$ $$⟹\Vert f{\Vert }_p=\Vert q{\Vert }_q^{q-1}\in \mathbb{R}$$

ezzel belattuk, hogy $L^p$-ben van

$$|(jg)(f)|=\left|\int fgd\mu \right|=\left|\int |g{|}^{q-1}\cdot \mathrm{sgn}(g)\cdot gd\mu \right|=\left|\int |g{|}^{q-1}\cdot |g|d\mu \right|=\left|\int |g{|}^{q}d\mu \right|=\Vert g{\Vert }_q^q=\Vert g{\Vert }_q^1\cdot \Vert g{\Vert }_q^{q-1}=\Vert g{\Vert }_q\cdot \Vert f{\Vert }_p$$

ezzel belattuk az igeretet

— biz vege —

Steinhaus-tetel

$j:L^{\infty }\to (L^1{)}^{\prime }$ izometrikus izomorfia

Megjegyzes: $j:L^1\to (L^{\infty }{)}^{\prime }$ nem szurjektiv

Szorzatmertek szerinti integral es helyettesitess integral

Def

Ha $\mathcal{P}$ es $\mathcal{Q}$ az $X$ es $Y$ alaphalmazokon felgyuruk, akkor

$$\mathcal{P}\times \mathcal{Q}=\{A\times B:A\in \mathcal{P},B\in \mathcal{Q}\}$$

es itt $\mathcal{P}\times \mathcal{Q}$ egy $X\times Y$ -beli felgyuru.

Biz.:

1. $\varnothing \subset X\times Y$ es $\varnothing =\varnothing \times \varnothing \in P\times Q$
2. $A\times B,C\times D\in P\times Q⟹(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)\in P\times Q$
3. $(A\times B)\setminus (C\times D)$ eloall veges diszjunkt $\cup$-kent $P\times Q$-bol ($\varnothing$ biz)

Def

Ha $\mu :\mathcal{P}\to \overline{\mathbb{R}}$ es $\nu :\mathcal{Q}\to \overline{\mathbb{R}}$ mertekek direkt szorzata:

$$(\mu \times \nu )(A\times B):=\mu (A)\cdot \nu (B)$$

konvencio: $\infty \cdot 0=0\cdot \infty =0$
ez a $\mathcal{P}\times \mathcal{Q}$-n mertek

Biz.:

1. $(\mu \times \nu )(\varnothing )=0$
2. $(\mu \times \nu )(\cup (A_n\times B_n))=\sum \mu (A_n)\nu (B_n)$

Kerdes: $f:X\times Y\to \mathbb{R}$

$$\underset{X\times Y}{\iint }f(x,y)d(\mu \times \nu )\stackrel{?}{=}{\int }_Y\left({\int }_{X}f(x,y)d\mu (x)\right)d\nu (y)\stackrel{?}{=}{\int }_X\left({\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y)\right)d\mu (x)$$

Fubini-tetel

Ha $f$ integralhato $\mu \times \nu$ mertek szerint, akkor a fentiben mindenhol fenn all az egyenloseg.

Tonelli-tetel

Ha $f$-nek letezik integralja a $\mu \times \nu$ mertek szerint, akkor a fentiben mindenhol fenn all az egyenloseg.

Def

A $\nu :\mathcal{N}\to \overline{\mathbb{R}}$ ($\mathcal{N}$ $\sigma$-gyuru) elojeles mertek, ha

1. $\nu (\varnothing )=0$
2. $\sigma$-additiv

Def

Legyen $\mu :\mathcal{N}\to {\overline{\mathbb{R}}}_{+}$ mertek, $\nu :\mathcal{N}\to \overline{\mathbb{R}}$ elojeles mertek. Ekkor azt mondjuk, hogy $\nu$ abszolut folytonos $\mu$-re nezve (jel. $\nu \ll \mu$), ha $\forall A\in \mathcal{N},\mu (A)=0$ eseten $\nu (A)=0$

Def

Legyen $\mu :\mathcal{N}\to {\overline{\mathbb{R}}}_{+}$ mertek, $\nu :\mathcal{N}\to \overline{\mathbb{R}}$ elojeles mertek. Ekkor azt mondjuk, hogy $\nu$ merheto tartoju a $\mu$-re nezve, ha $\exists M\in \mathcal{N}:\mu (M)\ge 0$ amire $\nu (A)=0$, ha $A\cap M=\varnothing$

Legyen $\mu :\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$ olyan mertek, ami egy veges mertek kiterjesztese a merheto halmazok $\mathcal{M}$ $\sigma$-gyurujere. Legyen $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ merheto fuggveny az $A\in \mathcal{M}$ ekkor definialjuk a kovetkezot: (1)

$${\nu }_f(A):={\int }_{A}fd\mu \stackrel{\text{def}}{=}\int f\cdot {\chi }_{A}d\mu$$

ha ez letezik.

All

Ha $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ merheto es letezik az integralja, akkor a fenti ${\nu }_f:\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$ egy elojeles merteket definial.

Biz.:
1.

$${\nu }_f(\varnothing )=\int f\cdot {\chi }_{\varnothing }d\mu =\int 0d\mu =0$$

$${\nu }_f({\cup }^{\ast }{A}_n)=\int f\cdot {\chi }_{{\cup }^{\ast }{A}_n}d\mu \stackrel{!}{=}\int f\cdot \sum {\chi }_{A_n}d\mu =\sum \int f\cdot {\chi }_{A_n}d\mu$$

ha $f\ge 0$ m.m. akkor a fenti utolso egyenloseg igaz, ha nem igaz, hogy $f\ge 0$ m.m. akkor vegezzuk el egyesevel $f_{+}$-ra es $f_{-}$ ugyanezt a jatszmat

Megjegyzes: A fenti ${\nu }_f$ abszolut folytonos a $\mu$-re nezve: ${\nu }_f\ll \mu$
Ugyanis, ha $\mu (A)=0$, akkor ${\chi }_A=0$ $\mu$-m.m., tehat $f\cdot {\chi }_A=0$ $\mu$-m.m. $⟹{\nu }_f(A)=\int f\cdot {\chi }_{A}d\mu =\int 0d\mu =0$

Radon-Nikodým tetel

Legyen $X$ merheto $\mu$-re nezve ($\mathcal{M}$ $\sigma$-algebra)
Ekkor a fenti (1)-es formula kolcsonosen egyertelmu megfeleltetest ad a $\mu$-re nezve merheto tartoju es abszolut folytonos elojeles mertekek es az integrallal rendelkezo $f$ merheto fuggvenyek kozott.

Jel.: $f=\frac{d\nu }{d\mu }$ Radon-Nikodýn derivalt

$${\nu }_f(A)={\int }_A\frac{d\nu }{d\mu }d\mu ={\int }_{A}d\nu =\nu (A)$$

Newton-Leibniz tetelre hasonlito valami bohockodas.

Helyettesiteses integralas altalanositasa

Legyen $\nu \ll \mu$, $\nu$ tartoju $\mu$-re nezve (Radon-Nikodýn tetel feltetelei)
Ha $\exists \int gd\nu$ akkor $\exists \int g\cdot \frac{d\nu }{d\mu }d\mu$ es

$$\int gd\nu =\int g\cdot \frac{d\nu }{d\mu }d\mu$$

Radon-Nikodýn tetelhez megjegyzes: A ${\nu }_f$ mertek $⟺$ $f\ge 0$
masreszt ${\nu }_f$ korlatos $⟺$ $f$ korlatos
related: TovFejAnal