Fubini lemma

lemma

Lemma: Legyen ${\mathbb{P}}^1$ felosztás az $x$-tengely mentén és ${\mathbb{P}}^2$ felosztás az $y$-tengely mentén.
Tehát ${\mathbb{P}}^1:=\{a=x_0,x_1,\dots ,x_n=b\}$ és ${\mathbb{P}}^2:=\{c=y_0,y_1,\dots ,y_n=d\}$.
Ekkor $\mathbb{P}=({\mathbb{P}}^1,{\mathbb{P}}^2)$-re:

$$s(f,p)\le s(A,{\mathbb{P}}^1)\le S(A,{\mathbb{P}}^1)\le S(f,\mathbb{P})$$

Biz.: Elég belátni, hogy $S(A,{\mathbb{P}}^1)\le S(f,\mathbb{P})$.

$$T_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]$$ $$M_{ij}:=sup\{f(x,y):(x,y)\in T_{ij}\}$$ $$⟹S(f,\mathbb{P})=\sum M_{ij}\cdot t_2(T_{ij})=\sum M_{ij}\cdot (x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})$$ $$x\in [x_{i-1},x_i],y\in [y_{j-1},y_j]⟹f(x,y)\le M_{ij}$$ $$⟹{\int }_{y_{j-1}}^{y_j}f(x,y)dy\le M_{ij}\cdot (y_j-y_{j-1})$$ $$⟹A(x):={\int }_c^{d}f(x,y)dy\le \sum _{j=1}^m{M}_{ij}\cdot (y_j-y_{j-1})$$ $$M_i:=sup\{A(x):x\in [x_{i-1},x_i]\}\le \sum _{j=1}^m{M}_{ij}\cdot (y_j-y_{j-1})$$ $$⟹M_i\cdot (x_i-x_{i-1})\le \sum _{j=1}^m{M}_{ij}\cdot (y_j-y_{j-1})(x_i-x_{i-1})$$ $$⟹\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})\le \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{M}_{ij}\cdot (x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})⟺$$ $$⟺S(A,\mathbb{P})\le S(f,\mathbb{P})$$

Dependencies:

• Tégla felosztása
• Integrál közelítőérték