TovFejAnal het 6

date: 2024.03.19

máj. 26. ea megtartva
ápr. 2. tavaszi szünet miatt elmarad
ápr. 9. 1. ZH időpontja
ápr. 16. ea magtartva

Megjegyzes: Ha $Y$ Banach-ter, akkor $\mathcal{L}(X,Y)$ szinten Banach-ter.
peldaul, ha $X=Y$ es $X$ banach ter, akkor $\mathcal{L}(X)=\mathcal{L}(X,X)$ is Banach-ter.

Specialis eset: $Y=\mathbb{R}$ (vagy $\mathbb{C}$), ilyenkor $\mathcal{L}(X,\mathbb{R})=X^{\prime }$ $X$ dualis tere. Ez mindig Banach ter, $X$-tol fuggetlenul, az elozo megjegyzes szerint.
Elnevezes: $\phi \in X^{\prime }$-ket folytonos linearis funkcionaloknak nevezzuk.

Ha $\phi \in X^{\prime }$ ekkor a kovetkezokeppen tudjuk definialni $\phi$ normajat: $\Vert \phi \Vert =\min \{M:|\phi (x)|\le M\cdot \Vert x\Vert \}$.

Legyen $H$ Hilbert-ter (Banach- ter a skalaris szorzat altal indukalt normara nezve)
$x\in H$ ekkor $\Vert x{\Vert }^2=(x,x)$

(Riesz-Frechet tetelnek bizonyitasanak a folytatasa, az elozo eloadas jegyzeteben szerepel)

Megjegyzes: Szokas Riesz-reprezentacios tetelnek is nevezni a Riesz-Fréchet tetelt. Ez alapjan szokas azonositani $H$-t $H^{\prime }$-vel, tehat $H\equiv H^{\prime }$ es meg is tudjuk mondani melyeik izometrikus izomorfia viszi az egyiket a masikba.

Q.: (Altalanos) Banach-terekben mik lesznek a dualis ter elemei, azaz mik $X^{\prime }$ elemei?
Emlek: Rang-tetel (dimenzio formula): $A:X\to Y$ linearis lekepezes, tovabba $\dim X,\dim Y<\infty$, ekkor $\dim \mathrm{Ker}A+\dim \mathrm{Im}A=\dim X$.

Legyen $X$ (vegtelen dimenzios) vektorter, $\phi :X\to \mathbb{R}$ linearis $\phi \not\equiv 0$.
$\mathrm{Ker}\phi \subset X$ $1$-kodimenzios alter

Def.:

Legyen $X$ (vegtelen dimenzios) vektorter, azt mondjuk, hogy $M\subset X$ alter $1$-kodimenzios alter vagy hipersik, ha tetszoleges $A\setminus M$ es $\mathrm{lin}⟨M,a⟩=X$.

All.:

Legyen $X$ vektorter. Ekkor az $X$-beli hipersikok megfelelnek a $\phi :X\to \mathbb{R}$ lekepezesek magtereinek.

Biz.: 1.) Ha $\phi :X\to \mathbb{R}$ linearis, akkor $\mathrm{Ker}\phi \subset X$ linearis.
Legyen $a\in X\setminus \mathrm{Ker}\phi$, legyen $x\in X$ tetszoleges.

$$\phi \left(x-\frac{\phi (x)}{\phi (a)}\cdot a\right)\in ⟨a⟩=\phi (x)-\frac{\phi (x)}{\phi (a)}\cdot \phi (a)=0$$ $$⟹x-\frac{\phi (x)}{\phi (a)}\cdot a\in \mathrm{Ker}\phi$$

2.) Van egy hipersikunk, hogyan definialunk egy olyan linearis lekepezest melynek pont ez a magja.
Legyen $M\subset X$ hipersik, legyen $a\in X\setminus M$ tetszoleges
Tudjuk: $⟨M,a⟩=X⟹$ tetszolehes $x\in X$ eloall mint $X=m+t\cdot a,m\in M,t\in \mathbb{R}$.

$$\phi (x):=t,\text{ ha }x=m+t\cdot a,\text{ ahol }m\in M,t\in \mathbb{R}$$

ez linearis, mert $y=m^{\prime }+t^{\prime }\cdot a$

$$\phi (x+y)=t+t^{\prime }=\phi (x)+\phi (y)$$

masreszt a magja pont az $M$, mert

$$\phi (x)=0⟺t=0\text{ tehat }x=m\in M$$

All.:

$X$ normalt ter, akkor $X^{\prime }=\mathcal{L}(X,\mathbb{R})$ elemei megfelelnek a zart hipersikoknak.

Biz.: $\phi \in X^{\prime }$ $\mathrm{Ker}\phi \subset X$ zart alter. Nem biz.

Pelda olyan $X$ Banach-terre, aminek pontosan le tudjuk irni a dualis teret, azaz $X^{\prime }$-t.

$$X:={\ell }^p:=\left\{(x_n)\subset \mathbb{R}:\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p<\infty \right\},1\le p<\infty$$ $${\ell }^{\infty }:=\{(x_n)\subset \mathbb{R}:\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|x_n|<\infty \}$$ $$x\in {\ell }^p:\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p},1\le p<\infty$$ $$x\in {\ell }^{\infty }:\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|x_n|$$

Tetel (Holder altalanositas):

Legyen $p$ es $q$ konjugalt kitevok, azaz $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $1\le p,q,\le \infty$
1.) Ha $x\in {\ell }^p,y\in {\ell }^q$, akkor $x\cdot y=(x_n\cdot y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }^1$, es $\Vert x\cdot y{\Vert }_1={\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n\cdot y_n|\le \Vert x{\Vert }_p\cdot \Vert y{\Vert }_q$

Tetel (Minnkowski altalanositas):

$x,z\in {\ell }^p⟹x+z\in {\ell }^p,\Vert x+z{\Vert }_p\le \Vert x{\Vert }_p+\Vert z{\Vert }_p$

Tetel:

${\ell }^p$ Banach ter, $1\le p<\infty$

Tetel:

$({\ell }^p{)}^{\prime }$ izometrikusan izomorf ${\ell }^q$-val, $1\le p<\infty$

Biz. (egy resze):
Legeyn $y=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }^q$. ${\phi }_y\in ({\ell }^p{)}^{\prime }$ legyen olyan, hogy

$${\phi }_y(x):=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\cdot y_n,x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }^p$$

Belatjuk, hogy ${\phi }_y\in ({\ell }^p{)}^{\prime }$ es hogy $\Vert {\phi }_y\Vert \le \Vert y{\Vert }_q$

• ${\phi }_y:{\ell }^p\to \mathbb{R}$ linearis: ${\phi }_y(x+z)={\phi }_y(x)+{\phi }_y(z)$

$$\sum _{n=1}^{\infty }(x_n+z_n)\cdot y_n=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\cdot y_n+\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n\cdot y_n$$ $${\phi }_y(c\cdot x)=c\cdot {\phi }_y(x)$$

• ${\phi }_y\in ({\ell }^p{)}^{\prime }$ : A Holder egyenloseg miatt

$$|{\phi }_y(x)|=\left|\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\cdot y_n\right|\le \sum _{n=1}^{\infty }|x_n\cdot y_n|\le \Vert x{\Vert }_p\cdot \Vert y{\Vert }_q$$ $$⟹{\phi }_y\in \mathcal{L}({\ell }^p),\Vert {\phi }_y\Vert \le \Vert y{\Vert }_q$$

Megjegyzes: Fontos specialis eset amikor $p=2$. Ekkor $({\ell }^p{)}^{\prime }\equiv {\ell }^p$, mert ez Hilbert ter is egyben.

Megjegyzes: Ha a $H$ Hilbert-terben van ONB, jeloljuk $(e_n)$-el, akkor $\forall x\in H:x=\sum (x,e_n)\cdot e_n$
Perseval egyenloseg igaz, tehat $\Vert x{\Vert }^2=\sum |(x,e_n{)}^2|<\infty$
Tehat $x_n:=(x,e_n),n\in \mathbb{N}(x_n)\in {\ell }^2$.
Tehat minden Hilbert ter amiben letezik ONB azonosithato ${\ell }^2$-vel, ezeket szokas szeparabilis Hilbert tereknek hivni.

Operator spektruma

1.) $X,Y$ vektorterek, $A:X\to Y$ linearis lekepezes, legyen $b\in Y$.
Tekinsuk $Ax=b$ (1) egyenletet

• Adott $b\in Y$ eseten (1)-nek van megoldasa, ha $b\in \mathrm{Im}A$
• $\forall b\in Y$ eseten (1)-nek van megoldasa $⟺\mathrm{Im}A=Y$, tehat $A$ szurjektiv
• A megoldas egyertelmu, ha $A$ injektiv, tehat $\mathrm{Ker}A=0$

All.:

(1)-nek $\forall b\in Y$ eseten egyertelmu megoldasa van $⟺A$ bijektiv, azaz $\exists A^{-1}$

2.) $X,Y$ normalt terek. Felteheto a kerdes, hogy mikor fugg a megoldas folytonosan a jobboldaltol, azaz $b$-tol? Tehat mikor igaz az, hogy $A^{-1}$ (is) folytonos?

3.) $X=Y$ $\mathbb{K}$ feletti normalt terek. Tekintsuk a kovetkezo egyenletet

$$(A-\lambda \cdot I)\cdot x=b$$

Def.:

Legyen $X$ normalt ter, legyen $A\in \mathcal{L}(X)$. Azt mondjuk, hogy a $\lambda \in \mathbb{K}$ az $A$ operator regularis erteke, ha $A-\lambda \cdot I$ bijektiv es $(A-\lambda \cdot I{)}^{-1}\in \mathcal{L}(X)$.

Jeloles: $\rho (A):=\{\lambda \in \mathbb{K}:\lambda \text{ regularis erteke }A\text{-nak}\}$ (rezolvens halmaz)
$\sigma (A):=\mathbb{C}\setminus \rho (A)$ az $A$ operator spektruma, azaz a rezolvens halmaz komplementere.

Mikor igaz, hogy $\lambda \in \sigma (A)$?
3 eset:
a) $A-\lambda \cdot I$ nem szurjektiv
b) $A-\lambda \cdot I$ nem injektiv
c) $A-\lambda \cdot I$ bijektiv, de $(A-\lambda \cdot I{)}^{-1}$ nem folytonos

Megjegyzes: Ha $\dim X<\infty$, akkor a dimenzio tetelbol kovetkezik, hogy a) $⟺$ b)

$$\dim \mathrm{Ker}A+\dim \mathrm{Im}A=\dim X$$

tehat pontosan akkor injektiv ha szurjektiv
Masreszt a c) nem fordulhat elo, mert veges dimenzioban minden linearis operator folytonos is egyben.

Megjegyzes: (Banach-fele homeomorfizmus tetelbol kovetkezik) Ha $X$ Banach ter, akkor ha az $B\in \mathcal{L}(X)$ bijektiv, akkor az inverze szuksegkeppen folytonos, tehat $B^{-1}\in \mathcal{L}(X)$.

Def.:

Ha $\lambda \in \sigma (A)$ olyan, hogy $A-\lambda \cdot I$ nem injektiv, akkor $\lambda$ sajaterteke $A$-nak, jelolesben $\lambda \in {\sigma }_p(A)$ (“pontspektrum”).

$A-\lambda \cdot I$ nem injektiv $⟺\exists x\ne 0:(A-\lambda \cdot I)x=0⟺Ax=\lambda \cdot x$. Ekkor $x$ neve “sajatvektor”.

Megjegyzes: Ha $\dim X<\infty$, akkor $\sigma (A)={\sigma }_p(A)$.

Pelda vegtelen dimenzios esetre amikor egy pont spektrumpont de nem sajatertek:
Legyen $X={\ell }^2$ legyen ezen ertelmezve a jobb eltolas $J(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )\in {\ell }^2$
$J$ nem szurjektiv $⟹0\in \sigma (J)$ masreszt $0$ nem lehet sajaterteke, mert csak a $0$-t viszi onmagaba.

related: TovFejAnal