TovFejAnal het 7

date: 2024.03.26

$X$ normalt ter vegtelen dimenzios, ${\sigma }_p(A)=\{\lambda :\mathrm{Ker}(A-\lambda I)\ne \{0\}\}=\{\lambda :A-\lambda I\text{ nem injektiv}\}\subset \sigma (A)$

Mai oran $X$ Banach ter es $A\in \mathcal{L}(X)$!

Megjegyzes (Banach fele homeomorfizmus): Ha $X$ Banach ter, akkor $\lambda \in \sigma (A)⟺A-\lambda I$ nem bijektiv

Tetel

$X$ Banach ter, ekkor $(\mathcal{L}(X),\Vert \cdot \Vert )$ is Banach ter, ahol $\Vert \cdot \Vert$ az operatornorma

Bizonyitas: Nem bizonyitjuk.

Q.: Ebben a $(\mathcal{L}(X),\Vert \cdot \Vert )$ Banach terben hogy helyezkednek el az invertalmhato operatorok? Ebbol kepet kapunk arra, hogy mikor lesz $A-\lambda I$ invertalhato es hogy milyen tulajdonsagu $\rho (A)$ illetve $\sigma (A)$.

Lemma

Legyen $(y_n)\subset Y$ Banach terben sorozat, tegyuk fel, hogy

$$\Vert y_n\Vert \le c_n\in {\mathbb{R}}_0^{+},n\in \mathbb{N},\sum c_n\text{ konvergens}$$

Ekkor a $\sum y_n$ sor konvergens $Y$-ban.

Bizonyitas:
$\sum y_n$ konvergens $\stackrel{\text{def}}{⟺}{s}_n:={\sum }_{k=1}^n{y}_k$ konvergens $Y$-ban $\stackrel{\text{Banach terben}}{⟺}{s}_n$ Cauchy sorozat
Tudjuk hogy $\sum c_n$ konvergens $⟹S_n:={\sum }_{k=1}^n{c}_n$ Cauchy sorozat

Meg kell mutatnunk, hogy $s_n$ Cauchy!
$n>m$

$$\Vert s_n-s_m\Vert =\Vert \sum _{k=m+1}^n{y}_k\Vert \stackrel{\Delta \text{-egy}}{\le }\sum _{k=m+1}^n\Vert y_k\Vert \stackrel{\text{feltetel}}{\le }\sum _{k=m+1}^n{c}_k\stackrel{\text{def}}{=}{S}_n-S_m\to 0$$

Tehat belattuk, hogy $s_n$ Cauchy sorozat.

Def

$A\in \mathcal{L}(X)$, ekkor $A^0:=I{d}_X$, $A^{m+1}:=A\cdot A^m:=A\circ A^m$

Tetel (Neumann)

Legyen $A\in \mathcal{L}(X)$ olyan, hogy $\Vert A\Vert <1$. Ekkor $1\in \rho (A)$ es $(I-A{)}^{-1}={\sum }_{n=0}^{\infty }{A}^n$
(„$\frac{1}{1-a}={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}^n|a|<1$” analog allitasa)

Bizonyitas:
1.) Megmutatjuk, hogy

$$B:=\sum _{n=0}^{\infty }{A}^n\in \mathcal{L}(X)$$

Elozo lemme alapjan eleg megmutatnunk, hogy $\Vert A^n\Vert \le c_n$ es $\sum c_n$ konvergens

volt, hogy $\Vert A\cdot B\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$ ebbol kovetkezik, hogy $\Vert A^n\Vert <\Vert A{\Vert }^n$. Legyen $c_n=\Vert A{\Vert }^n$ es a feltetel szerint $\Vert A\Vert <1$ tehat $\sum c_n$ konvergens mert ez mar csak egy mertani sor.

2.) Mar csak azt kell megmutatnunk, hogy $B=(I-A{)}^{-1}⟺B(I-A)=I$ es $(I-A)B=I$

gondoljuk, meg hogy

$$B=Id+A+A^2+\dots$$ $$B_n:=\sum _{k=0}^n{A}^k$$

vizsgaljuk me, hogy mi lesz a $B_n(I-A)$?

B_{n}(I - A) = B_{n} - B_{n} \cdot A = B_{n} - \sum_{k = 1}^{n+1}A^{k} = B_{n} - (B_{n+1} - Id) $$ Hasznaljuk ki, hogy $B_{n} \to B$ definicio szerint

\lim_{ n \to \infty } B_{n} - (B_{n+1} - Id) = B - B + Id = Id

Hasonlo modon ha jobbrol szorzunk, akkor is $(I - A)B_{n} \to Id$ Masreszt azt allitom, hogy $B_{n}(I - A) \to B \cdot (I - A)$, mivel

\begin{align*}
| B_{n}(I - A) - B (I - A) | & = | (B_{n} - B) \cdot (I - A) | \
& \leq | B_{n} - B | \cdot | I - A | \to 0
\end{align*}

Mivel $\| B_{n} - B \| \to 0$ Tehat $B \cdot (I - A) = I$ tehat valoban $B$ balinverze $(I - A)$-nak es hasonlo modon meggondolhato hgoy $B$ jobbinverze $(I - A)$-nak. ***Q.:*** Ha van egy invertalhato operatorom, akkor tudunk mondani a terben egy masik invertalhato operatort? ### Allitas Ha $A, B \in \mathcal{L}(X)$ es $\exists A^{-1}, B^{-1} \in \mathcal{L}(X)$ akkor $\exists (A \cdot B)^{-1} \in \mathcal{L}(X)$ es $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ *Bizonyitas:* Be kell latni, hogy $(A \cdot B) \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = I$

(A \cdot B)\cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1} = A\cdot A^{-1} = Id

Ugyanigy $(B^{-1} \cdot A^{-1}) \cdot (A \cdot B) = Id$ ### Tetel Legyen $A \in \mathcal{L}(X)$ olyan, hogy $\exists A^{-1} \in \mathcal{L}(X)$, tovabba, legyen $B \in \mathcal{L}(X)$ olyan, hogy

| A - B | < \frac{1}{| A^{-1} | }

Ekkor $B$ is invertalhato, azaz $\exists B^{-1} \in \mathcal{L}(X)$. *Bizonyitas:* Irjuk fel a $B$-t a kovetkezo trukkos modon:

B = A - (A - B) = (I - ( A - B) \cdot A^{-1}) \cdot A

Az elozo allitas miatt eleg belatni, hogy $(I - (A - B))$ invertalhato, mert ha van ket ivnertalhato operator akkor a szorzata is az. Alkalmazzuk a Neumann-tetelt: eleg megmutatni, hogy $\| (A - B) \cdot A^{-1} \| < 1$ No de

\begin{align*}
| (A - B) \cdot A^{-1} | & \leq | A - B | \cdot | A^{-1} | \
& < \frac{1}{| A^{-1} |} \cdot | A^{-1} | \
& = 1
\end{align*}

Tehat $B = (I - (A - B) \cdot A^{-1}) \cdot A$ is invertalhato. *Emlek:* $(X, \rho)$ metrikus terben $H \subset X$ nyilt halmaz, ha $\forall x \in H$ es $\exists r > 0$ ugy, hogy $B(x, r) \subset H$ Ha $(X, \| \cdot \|)$ normalt ter, akkor $H \subset X$ nyilt halmaz ha $\forall x \in H$ eseten $\exists r > 0$ ugy, hogy $\{ y \in X: \| x - y \| < r \} \subset H$ Itt $\{ y \in X: \| x - y \| < r \}$ halamz $B(x, r)$ a norma altal indukalt metrikaval Az elozo tetel kovetkezmenye #### Kov $(\mathcal{L}(X), \| \cdot \|)$ Banach-terben a folytonosan invertalhato linearis operatorok nyilt halmazt alkotnak. *Bizonyitas:* Legyen $A \in \mathcal{L}(X)$ ugy hogy $\exists A^{-1} \in \mathcal{L}(X)$. Ekor az elozo tetel alapjan $r := \frac{1}{\| A^{-1} \|}$ sugarral

B(A, r) \subset { \text{folytonosan invertalhato operatorok} }

Tehat nyilt halmazt alkotnak a folytonosan invertalhato operatorok. ### Allitas Ha $A \in \mathcal{L}(X)$ tetszologes. Ekkor $\rho(A) \subset \mathbb K$ nyilt halamz. Kovetkezteteskeppen $\sigma(A)$ zart mert a komplementere nyilt. *Bizonyitas:* Legyen $\lambda_{0} \in \rho(A)$ megmutatjuk, hogy $\exists r > 0$ melyre

{ \lambda : \lvert \lambda - \lambda_{0} \rvert < r } \subset \rho(A)

$$\ast Bizonyitas:\ast Legyen$$

r = \frac{1}{| (A - \lambda_{0}I)^{-1} |}

Az elozo tetel alapjan, ha $\lambda \in \mathbb K$ olyan, hogy

| (A - \lambda I) - (A - \lambda_{0}I) | < r \implies A - \lambda I \text{ is invertalhato, vagyis } \lambda \in \rho(A)

$$baloldalatirva$$

| (A - \lambda I) - (A - \lambda_{0}I) | = | (\lambda_{0} - \lambda)I | = \lvert \lambda_{0} - \lambda \rvert

Tehat ha $\lvert \lambda_{0} - \lambda \rvert < r$ akkor $\lambda \in \rho(A)$, vagyis $B(\lambda_{0}, r) \subset \rho(A)$. Ebbol kovetkezik, hogy $\rho(A)$ nyilt. ### Def $A \in \mathcal{L}(X)$ spektralsugara a kovetkezo:

r(A) := \inf { | A^{n} | ^{1/n} : n \geq 1 }

*Megjegyzes:* $r(A) \leq \| A \|$, mert $\| A^{n} \| \leq \| A \|^{n}$ ### Allitas $A \in \mathcal{L}(X)$ tetszoleges. Ekor $\sigma(A) \subset \{ \lambda \in \mathbb K : \lvert \lambda \rvert \leq r(A) \}$ Tehat $\sigma(A)$ korlatos halmaz. Mivel zart is es veges dimenzios ebbol kovetkezik, hogy kompakt. *Bizonyitas:* Nem bizonyitjuk. ### Tetel Ha $X$ $\mathbb{C}$ feletti Banach ter, $A \in \mathcal{L}(X)$, akkor $\sigma(A) \neq \emptyset$ es $r(A) = \max \{ \lvert \lambda \rvert : \lambda \in \sigma(A) \}$ *Bizonyitas:* Nem bizonyitjuk. pelda: Ha $X$ $\mathbb{R}$ feletti Banach-ter, $A \in \mathcal{L}(X)$ akkor elofordulhat, hogy $\sigma(A) = \emptyset$ Legyen $X = \mathbb{R}^{2}$

A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \
-1 & 0
\end{bmatrix}

\det(A - \lambda I) = \lambda ^{2} + 1\neq 0 \quad \forall \lambda \in \mathbb{R} \implies \sigma(A) = \emptyset

$$related:[[TovFejAnal]]$$