TovFejAnal pset 5

1.

Igazoljuk, hogy a $\left(\mathcal{C}([a,b];\mathbb{K}),\Vert \cdot {\Vert }_{\max }\right)$ téren a $\Phi :f\mapsto f\left(x_0\right)$ leképezés folytonos lineáris funkcionált definiál, ha $x_0\in [a,b]$ tetszőleges rögzített pont. Számítsuk is ki a normáját!

Megoldás:
linearis: $\Phi (c_1{f}_1+c_2{f}_2)=c_1{f}_1(x_0)+c_2{f}_2(x_0)$.
folytonos: eleg, hogy korlatos
korlatos:

$$|\Phi f|\le M\cdot ||f|{|}_{\max }\forall f\in C$$ $$|f(x_0)|\le M\cdot ||f|{|}_{\max }$$ $$|f(x_0)|\le M\cdot \underset{I}{\max }|f|\forall f\in C$$

$M=1$ jó.

Legyen $f$ a konstans $1$ fuggveny $⟹|c|=1\cdot \max |c|=|c|$
Tehat $1$-nel nem is lehet kisebb.

2.

Folytonos-e $\mathcal{C}([a,b];\mathbb{K})$ fölött az $f\mapsto f\left(x_0\right)$ lineáris funkcionál az $\Vert \cdot {\Vert }_1$ normára nézve? Ha igen, számítsuk ki a normáját!

Megoldás:

$$\exists ?M>0:|f(x_1)|\le M\cdot ||f|{|}_1=M\cdot {\int }_I|f|\forall f\in C$$ $$f_n=\frac{1}{x^n}$$

ellenpelda

3.

(a) Igazoljuk, hogy $\left(\mathcal{C}([a,b];\mathbb{K}),\Vert \cdot {\Vert }_{\max }\right)$ fölött a $\Phi :f\mapsto {\int }_a^{b}f$ leképezés korlátos lineáris funkcionált definiál. Számítsuk is ki a normáját!
(b) Igazoljuk közvetlenül is, hogy a fenti $\Phi$ (sorozat)folytonos, és szemléltessük, hogy a becslés épp a korlátosságon múlik!

Megoldás:

4.

Legyen $A:\mathcal{C}([a,b];\mathbb{K})\to \mathcal{C}([a,b];\mathbb{K})$ az a lineáris operátor, amelyre $(Af)(x):={\int }_a^{x}f$. Igazoljuk, hogy $A$ folytonos lineáris operátor a $\Vert \cdot {\Vert }_{\max }$ normára nézve. Számítsuk is ki a normáját!

Megoldás:

5.

Igazoljuk, hogy az $L^2(I)$ téren az $f\mapsto {\int }_a^{b}fg$ leképezés folytonos lineáris funkcionált definiál, ha $g\in L^2(I)$ tetszőleges rögzített függvény. Számítsuk is ki a normáját!

Megoldás:

6.

Jelölje $c$ a $\mathbb{K}$-ban haladó konvergens sorozatok normált terét az $\Vert x\Vert :={\sup }_{n\in \mathbb{N}}\left|x_n\right|$ normával. Igazoljuk, hogy a $\varphi :c\to \mathbb{K},\varphi (x):={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ leképezés folytonos lineáris funkcionál! Számítsuk is ki a normáját!

Megoldás:

7. (szorgalmi)

Igazoljuk, hogy az $A:X\supset \to Y,\mathrm{dom}(A):={\mathcal{C}}^1([0,1];\mathbb{R})$ altéren értelmezett $Af:=f^{\prime }$ lineáris operátor nem korlátos, ha $X=Y=\mathcal{C}([0,1];\mathbb{R})$ a maximum-normával!

Megoldás:

8.

Legyen $X$ egy olyan $[0,1]\to \mathbb{R}$ függvényekből álló vektortér, amelyre ${\mathcal{C}}^1([0,1];\mathbb{R})\subseteq X$ teljesül.
(a) Legyen $\Vert \cdot \Vert$ tetszőleges $X$ fölötti norma. Igazoljuk, hogy az $A:X\to X,\mathrm{dom}(A):={\mathcal{C}}^1([0,1];\mathbb{R})$, Af $:=f^{\prime }$ lineáris operátor nem korlátos!
(b) Legyen $X:={\mathcal{C}}^1([0,1];\mathbb{R})$, ellátva az $\Vert f{\Vert }_{C^1}:={\max }_I\left|f^{\prime }\right|+{\max }_I|f|$ normával, és legyen $Y:=\mathcal{C}([0,1];\mathbb{R})$ ellátva a maximum-normával. Mutassuk meg, hogy az $A:X\to Y,Af:=f^{\prime }$ lineáris operátor folytonos!

Megoldás:
related: TovFejAnal