4.a) Differencialszamitas

Egyvaltozos folytonossag

Def.: Legyen $f$ ertelmezve valamely $a$-t tartalmazo nyilt intervallumban. Az $f$ fuggveny folytonos az $a$ helyen, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik $\delta >0$, amelyre teljesul, hogy

$$|x-a|<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<\epsilon .$$

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $[a,b)$ intervallumon. Az $f$ fuggveny jobbrol folytonos az $a$ helyen, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik $\delta >0$ ugy, hogy

$$0\le x-a<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<\epsilon .$$

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $(c,a]$ intervallumon. Az $f$ fuggveny balrol folytonos az $a$ helyen, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik $\delta >0$ ugy, hogy

$$0\le a-x<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<\epsilon .$$

Def.: Legyen $a<b$. Az $f$ fuggveny folytonos az $[a,b]$ intervallumon, ha minden $x\in (a,b)$ helyen folytonos, tovabba $a$-ban jobbrol, $b$-ben pedig balrol folytonos.

Tetel: Ha $f\in C[a,b]$, akkor $f$ korlatos $[a,b]$-ben.
Tetel: (Weierstrass) Korlatos zart intervallumon folytonos fuggvenynek mindig van a minimum es maximum helye.
Tetel: (Bolzano–Darboux) Ha $f\in C[a,b]$, akkor $f$ az $[a,b]$ intervallumon felvesz minden $f(a)$ es $f(b)$ kozotti erteket.

Def.: Az $f$ fuggveny egyenletesen folytonos az $I$ intervallumon, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik univerzalis $\delta >0$, amelyre barmely ket $x_0,x_1\in I$ pontra

$$|x_1-x_0|<\delta ⟹|f(x_1)-f(x_0)|<\epsilon .$$

Tetel: Korlatos zart intervallumon folytonos fuggveny egyenletesen folytonos.
Def.: Az $f$ fuggveny Lipschitz az $A$ halmazon, ha van olyan $K\ge 0$ konstans, hogy

$$|f(x_1)-f(x_0)|\le K\cdot |x_1-x_0|$$

minden $x_0,x_1\in A$-ra.
Tetel: Ha $f$ Lipschitz az $A$ halmazon akkor $f$ egyenletesen folytonos $A$-n.
Tetel: Ha $f$ monoton az $I$ nyilt intervallumon, akkor $I$-ben legfeljebb megszamlalhatoan sok szakadasi helye van.

Hatarertek

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $a$-t tartalmazo nyilt intervallumban, kiveve esetleg $a$-t magat. Az $f$ fuggveny hatarerteke az $a$ helyen letezik es erteke $b$, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik $\delta >0$ ugy, hogy

$$0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-b|<\epsilon .$$

Def.: (Alternativ definicio) Legyen $f$ ertelmezve egy $a$-t tartalmazo nyilt intervallumon, kiveve esetleg $a$-t magat. Az $f$ fuggveny hatarerteke az $a$ helyen letezik es erteke $b$ ha az

$$f^{\ast }(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{ha }x\ne a\\ b,& \text{ha }x=a\end{array}$$

fuggveny folytonos az $a$ helyen.

Tetel: Legyen $f$ ertelmezve egy $a$-t tartalmazo nyyilt intervallumon. Az $f$ fuggveny akkor es csak akkor folytonos $a$-ban, ha ${\lim }_{x\to a}f(x)$ letezik, es erteke $f(a)$.
Tetel: Ha letezik az $f$ hatarerteke $a$-ban akkor az egyertelmu.

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $(a,c)$ nyilt intervallumon. Az $f$ fuggveny jobb oldali hatarerteke letezik az $a$ helyen es az erteke $b$, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik $\delta >0$ ugy, hogy

$$0<x-a<\delta ⟹|f(x)-b|<\epsilon .$$

Tetel:

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b⟺\underset{x\to a+0}{\lim }=\underset{x\to a-0}{\lim }=b$$

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $a$-t tartalmazo nyilt intervallumon, kiveve esetleg $a$-t magat. Az $f$ fuggveny hatarerteke az $a$ helyen $\infty$, ha $\forall P\in \mathbb{R}$-hez letezik $\delta >0$ ugy, hogy

$$0<|x-a|<\delta ⟹f(x)>P.$$

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $(a,\infty )$ felegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $f$ fuggveny hatarerteke $\infty$-ben $b$, ha $\forall \epsilon >0$-hoz letezik olyan $K\in \mathbb{R}$ , amelyre teljesul, hogy

$$x>K⟹|f(x)-b|<\epsilon .$$

Def.: Legyen $f$ ertelmezve egy $(a,\infty )$ felegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $f$ fuggveny hatarerteke $\infty$-ben $\infty$, ha minden $P$-hez letezik $K$ ugy, hogy

$$x>K⟹f(x)>P.$$

Tetel: (Atviteli elv) Legyen $f$ ertelmezve $\alpha$ egy $\dot{U}$ pontozott kornyezeten. Akkor es csak akkor teljesul ${\lim }_{x\to \alpha }f(x)=\beta$, ha valahanyszor egy $(x_n)$ sorozatra

$$\{x_n\}\subset \dot{U}\text{es}{x}_n\to \alpha ,$$

akkor ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=\beta$.

Tetel: Az $f$ fuggveny akkor es csak akkor folytonos az $a$ pontban, ha ertelmezve van $a$ egy kornyezeteben, es minden $x_n\to a$ sorozatra $f(x_n)\to f(a)$.

Tetel: Ha $\alpha$ egy pontozott kornyezeteben $f(x)\le g(x)\le h(x)$ es ${\lim }_{x\to \alpha }f(x)={\lim }_{x\to \alpha }h(x)=\beta$ akkor ${\lim }_{x\to \alpha }g(x)=\beta$.

Tetel: Legyen $\alpha$ jelentese egy $a$ szam, vagy $a-0$ vagy $a+0$ vagy $\infty$ vagy $-\infty$. Ha ${\lim }_{x\to \alpha }f(x)=b$ es ${\lim }_{x\to \alpha }g(x)=c$ veges hatarertekek leteznek, akkor

1. ${\lim }_{x\to \alpha }(f(x)+g(x))$ letezik es erteke $b+c$.
2. ${\lim }_{x\to \alpha }(f(x)\cdot g(x))$ letezik es erteke $b\cdot c$.
3. $c\ne 0$ eseten ${\lim }_{x\to \alpha }(f(x)/g(x))$ letezik es az erteke $b/c$.

Elemi fuggvenyek

Polinom fuggvenyek

Def.: A $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fuggvenyt polinomnak nevezzuk, ha

$$p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0,$$

ahol $a_i\in \mathbb{R}$ es $a_n\ne 0$.

Racionalis fuggvenyek

Def.: Racionalis tortfuggvenynek nevezzuk a $p/q$ alaku fuggvenyeket, ahol $p$ es $q$ polinomok es $q$ nem azonosan nulla.

Exponencialis fuggvenyek

Def.: Tetszoleges $a>0$-re az $x\mapsto a^x$ ($x\in \mathbb{R}$) fuggvenyt $a$ alapu exponencialis fuggvenynek nevezzuk.

Hatvany fuggvenyek

$$x\mapsto x^b$$

Logaritmus fuggvenyek

Def.: Az $a^x$ fuggvenynek $a>0$ es $a\ne 1$ eseten letezik inverze, ezt hivjuk $a$ alapu logaritmus fuggvenynek es ${\log }_{a}x$-el jeloljuk. Nyilvan ${\log }_{a}x$ csak a pozitiv felegyenesen ertelmezett.

Trigonometrikus fuggvenyek

• $\sin :\mathbb{R}\to [-1,1]$
• $\cos :\mathbb{R}\to [-1,1]$
• $\tan :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Inverz trigonometrikus fuggvenyek

• ${\sin }^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi ]$
• ${\cos }^{-1}:[-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]$
• ${\tan }^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Hiperbolikus fuggvenyek

$$\sinh :=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\cosh :=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$$

Tehat a $(\cosh u,\sinh u)$ pont az $x^2-y^2=1$ hiperbolara esik minden $u$-ra. Innen jon a hiperbolikus jelzo. Ahogyan a $(\cos u,\sin u)$ az $x^2+y^2=1$ korre esik ugy ez egy hiperbolara.

$$\tanh :=\frac{\sinh }{\cosh }$$

Inverz hiperbolikus fuggvenyek

• ${\sinh }^{-1}$
• ${\cosh }^{-1}$
• ${\tanh }^{-1}$

Differencialhatosag

Def.: Legyen $f$ ertelmezve az $a$ pont egy kornyezeteben. Azt mondjuk, hogy az $f$ fuggveny az $a$ pontban differencialhato, ha a

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

veges hatarertek letezik. Tovabba, azt mondjuk, hogy a fenti hatarertek az $f$ derivaltja az $a$ pontban.

Tetel: Ha $f$ differenecialhato $a$-ban, akkor $f$ folytonos $a$-ban.
Megj.: Forditva nagyon nem igaz az allatis, peldaul lehet mutatni olyan fuggvenyt ami folytonos mindenhol de sehol sem differencialhato (Weierstrass fuggveny). Vagy egy meg egyszerubb pelda az $x\mapsto |x|$ ami folytonos $0$-ban de nem differencialhato ott.

Def.: Azt mondjuk hogy $f$ differencialhato $[a,b]$-n ha $\forall x\in (a,b)$-ben differencialhato es a hatarpontokban balrol illetve jobbrol differencialhato.
Def.: Az $f$ fuggveny derivaltjanak nevezzuk az $f^{\prime }$ fuggvenyt amely ertelmezve van mindazon $x$ helyen ahol $f$ differencialhato es ott az erteke pont $f^{\prime }(x)$.

Fuggvenyvizsgalat

Tetel: Legyen $f$ folytonos $[a,b]$-ben es differencialhato $(a,b)$-n. Ekkor

1. $f$ akkor es csak akkor monoton novekedo $[a,b]$-ben, ha $f^{\prime }(x)\ge 0$ minden $x\in (a,b)$-re.
2. $f$ akkor es csak akkor szigoruan monoton novekedo $[a,b]$-ben, ha $f^{\prime }(x)\ge 0$ minden $x\in (a,b)$-re, es $[a,b]$-nek nincs olyan reszintervalluma, amelyen $f^{\prime }$ azonosan nulla.
   Megj.: Nyilvan a monotn csokkeno es szigoruan monoton csokkeno tulajdonsagra hasonlo allitas megfogalmazhato.
   Kovetkezmeny: Ha van ket folytonose es differencialhato fuggvenyem $[a,b]$-ben es $f(a)=g(a)$ akkor eleg belatnom azt hogy $f^{\prime }(x)\ge g^{\prime }(x)$ minden $x\in [a,b]$-re, ahhoz hogy belassam hogy $f(x)\ge g(x)$ minden $x\in [a,b]$-re.

Tetel: Legyen $f$ differencialhato az $a$ pont egy kornyezeteben.

1. Ha $f^{\prime }(a)=0$ es $f^{\prime }$ lokalisan novekedo az $a$ helyen, akkor az $a$ pont az $f$-nek lokalis minimumhelye.
2. Ha $f^{\prime }(a)=0$ es $f^{\prime }$ szigoruan lokalisan novekedo $a$-ban akkor az $a$ pont $f$-nek szigoru lokalis minimumhelye.
   Megj.: Nyilvan itt is hasonlo allitasok megfogalmazodhatnak a lokalis es szigoruan lokalis maximumhely jellemzeserol.

Tetel: Legyen $f$ ketszer differencialhato $a$-ban. Ha $f^{\prime }(a)=0$ es $f^{\prime \prime }(a)>0$, akkor $f$-nek $a$-ban szigoru lokalis minimuma van. Ha $f^{\prime }(a)=0$ es $f^{\prime \prime }(a)<0$, akkor $f$-nek $a$-ban szigoru lokalis maximuma van.

Tetel: Legyen $f$ differencialhato az $I$ intervallumon.

1. Az $f$ fuggveny akkor es csak akkor konvex $I$-ben, ha $f^{\prime }$ monoton novekedo $I$-ben.
2. Az $f$ fuggveny akkor es csak akkor szigoruan konvex $I$-ben, ha $f^{\prime }$ szigoruan monoton novekedo $I$-ben.

Tetel: Legyen $f$ ketszer differencialhato $I$-ben. Az $f$ fuggveny akkor es csak akkor konvex $I$-ben, ha $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ minden $x\in I$-re.
Def.: Azt mondjuk, hogy az $a$ pont az $f$ fuggvenynek inflexios pontja, ha $f$ folytonos $a$-ban, $f$-nek letezik a derivaltja $a$-ban, es van olyan kicsi kornyezet melyre $f$ konvex $a$-tol balra es konkav $a$-tol jobbra, vagy forditva. Ergo $f$ konvexrol konkavra valt $a$-ban.
Tetel: Legyen $f$ haromszor differencialhato $a$-ban. Ha $f^{\prime \prime }(a)=0$ es $f^{\prime \prime \prime }(a)\ne 0$ akkor $f$-nek inflexios pontja van $a$-ban.

Teljes fuggvenyvizsgalat:

1. hatarertekek meghatarozasa
2. azon intervallumok meghatarozasa, amelyeken $f$ monoton novo, illetve csokkeno
3. $f$ lokalis es abszolut szelsoertekhelyei es szelsoertekeinek meghatarozasa
4. azon pontok meghatarozasa, amelyeken $f$ folytonos, illetve differencialhato
5. azon intervallumon meghatarozasa, amelyeken $f$ konvex, illetve konkav
6. $f$ inflexios pontjainak meghatarozasa

Tobbvaltozos differencialhatosag

Def.: Legyen $H\subset {\mathbb{R}}^p$ es $a\in \mathrm{int}H$. Azt mondjuk, hogy az $f:H\to {\mathbb{R}}^q$ fuggveny differencialhato az $a$ pontban, ha van olyan $A:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^q$ linearis lekepezes, hogy

$$f(x)=f(a)+A(x-a)+\epsilon (x)\cdot |x-a|$$

minden $x\in H$-ra, ahol $\epsilon (x)\to 0$ ha $x\to a$.

Tetel: Az $f:H\to {\mathbb{R}}^q$ fuggveny akkor es csak akkor differencialhato az $a$ pontban, ha $f$ mindegyik $f_i$ koordinatafuggvenye differencialhato $a$-ban. Ekkor az $A$ linearis lekepezes matrixaban az $i$-edik sor $j$-edik eleme egyenlo $D_j{f}_j(a)$ parcialisa derivalttal.

Def.: Az elozo tobbvaltozos differencialhatosag definicioban szereplo $A$ lekepezest az $f$ fuggveny $a$ pontbeli derivaltjanak nevezzuk es $f^{\prime }(a)$-val jeloljuk. Az $f^{\prime }(a)$ linearis lekepezes matrixat pedig $A_{ij}=D_i{f}_j$ adja es Jacobi-matrixnak hivjuk.

Tetel:

1. Ha az $f$ fugveny differencialhato az $a$ pontban, akkor $f$ folytonos $a$-ban, tovabba $f$ mindegyik koordinatafuggvenyenek mindegyik valtozo szerinti parcialis derivaltja letezik es veges az $a$ pontban.
2. Ha $f$ mindegyik koordinatafuggvenyenek mindegyik valtzo szerinti parcialis derivaltja letezik es veges az $a$ pont egy kornyezeteben es folytonos az $a$ pontban, akkor $f$ differencialhato az $a$ pontban.

Szelsoertek

Egy fuggveny szelsoerteken a maximumat illetve a minimumat ertjuk, de ezekrol beszeltunk a fuggvenyvizsgalat reszben.

Komplex differencialhatosag

Def.: Legyen $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ komplex fuggveny ertelmezve a $z_0\in \mathbb{C}$ pont egy kornyezeteben. Azt mondjuk, hogy az $f$ fuggveny az $z_0$ pontban differencialhato, ha a

$$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

veges hatarertek letezik. Tovabba, azt mondjuk, hogy a fenti hatarertek az $f$ derivaltja az $z_0$ pontban.

Tetel: (Cauchy–Riemann) Adott $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ komplex fuggveny, ahol $u$ es $v$ ketvaltozos valos erteku fuggvenyek es $z=x+iy$. Ekkor $f$ komplex differencialhato $z_0=x_0+i{y}_0$ pontban akkor es csak akkor ha $u(x,y)$ es $v(x,y)$ differencialhatok az $(x_0,y_0)$ pontban es teljesitik a Cauchy–Riemann egyenleteket:

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

Def.: Azt mondjuk, hogy az $f$ komplex fuggveny holomorf az $U$ nyilt halmazon, ha $U$ minden pontjaban komplex differencialhato.
Def.: Azt mondjuk, hogy az $f$ komplex fuggveny analitikus a $z_0$ pontban, ha $z_0$ egy nyilt kornyezeteben $f$ felirhato egy konvergens fuggenysorozatkent:

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n.$$

Tetel: Minden holomorf fuggveny analitikus es forditva.