próba vizsga

MOC

1. … anal3m beugro 9 …
2. feladat
   a) Newton-Leibniz (Newton-Leibniz görbékre)
   Tétel: $F=\nabla f⟹\underset{\gamma }{\int }Fdx=f(\gamma (b))-f(\gamma (a))$
   Biz.:

$$\underset{\gamma }{\int }Fdx={\int }_a^{b}F(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt={\int }_{\gamma (a)}^{\gamma (b)}F(\gamma )d\gamma ={\left[\nabla f(u)\right]}_{\gamma (a)}^{\gamma (b)}=\nabla f(\gamma (b))-\nabla f(\gamma (a))$$

b) Luiville (Luiville tétel)
Tétel:

$$f\in \mathcal{O}(\mathbb{C}),\text{ korlaˊtos}⟹f\equiv \text{ konstans}$$

Biz.:

$$\text{CIF derivaˊltra}⟹f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -a|=r}{\int }\frac{f(\xi )}{{\left(\xi -z\right)}^2}d\xi \stackrel{\text{Triviaˊlis becsleˊs}}{\Rightarrow }|f^{\prime }(z)|\le \frac{1}{2\pi i}\cdot \frac{M}{r^2}\cdot 2\pi =\frac{M}{ri}$$

Ha $|f^{\prime }(z)|\le {\lim }_{r\to \infty }\frac{M}{ri}=0⟹f^{\prime }(z)=0⟹f(z)\equiv \text{ konstans}$.

3. feladat
   kettős integrál…
   polár koordinátákkal könnyű

4. feladat
   b) Komplex exponenciális függvény és tulajdonságai (Komplex exponenciális tulajdonságai, Elemi komplex változós függvények)

$$z\in \mathbb{C}:\exp (z)=e^z:=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{z^j}{j!}$$

Tulajdonságai:

1. $e^{z+w}=e^z{e}^w$
2. $\forall z\in \mathbb{C}:e^z\ne 0,e^{-z}=\frac{1}{e^z}$
3. $e^z=e^{z+2\pi i},e^z=1⟺z=2k\pi i,k\in \mathbb{Z}$
4. $e^z$ szürjektív $\mathbb{C}\setminus \{0\}$-n

Biz.:

1. biz

$$e^z{e}^w=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{N!}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{w^j}{j!}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j=0}^n\frac{z^n\cdot w^{n-j}}{n!\cdot (n-j)!}$$ $$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)z^n{w}^{n-j}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{\left(z+w\right)}^n=e^{z+w}$$

2. biz

$$1=e^0=e^{z-z}=e^z{e}^{-z}⟹e^z\ne 0,e^{-z}\ne 0⟹e^{-z}=\frac{1}{e^z}$$

3. biz

$$e^{z+2\pi i}=e^z{e}^{2\pi i}=e^z\left(\cos (2\pi )+i\sin (2\pi )\right)=e^z\left(1+0\right)=e^z$$ $$1=e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x\left(\cos (y)+i\sin (y)\right)⟹e^x\cos (y)=1,e^x\sin (y)=0$$ $$e^x\cos (y)=1⟹x=0,y=2k\pi$$ $$e^x\sin (y)=0⟹x=x=0,y=n\pi$$ $$⟹x=0,y=2k\pi ⟹z=0+2k\pi i=2k\pi i$$

4. biz
   $e^z=e^{x+iy}=e^x\left(\cos (y)+i\sin (y)\right)=w$
   $|w|=e^x$
   $arg(w)=y$
   

   Transclude of exp(z)-szürjektív

   
   Rögzített $y=y_0$-ra az ábrán ábrázolt félegyenes szürjektív.
   Mivel tetszőlegesen lehet $y_0$-t választani, ezért szürektív egész $\mathbb{C}\setminus \{0\}$-n.

b) I. típusú normáltartomány, Green tétel, Lemma normáltartományokra

Def.: I típusú normáltartomány:

$$f,g\in C^1[a,b]\forall x\in (a,b):h(x)<g(x)\text{ eˊs }h(a)\le g(a),h(b)\le g(b)$$ $$K:=\{\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [a,b],h(x)\le y\le g(x)\}$$

Tétel: $H\subset {\mathbb{R}}^2\text{ nyıˊlt }\partial H=\gamma \text{ szakaszonkeˊnt }{C}^1\text{ zaˊrt Jordan-go¨rbe}$
$H\cup \partial H=K\subset D\subset {\mathbb{R}}^2$ nyílt, $P,Q\in C^1(D)$.
Ekkor:

$$\underset{\gamma }{\int }Pdx+Qdy=\underset{H}{\iint }{\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}Pdxdy$$

Lemma: Ha $K$ egy I. típusú normáltartomány, $K\subset D\subset {\mathbb{R}}^2$ nyílt.
$P\in C^1(D)$, ${\vec{E}}_1=(P,0)$ vektormező.
Ekkor:

$$\underset{\partial K}{\int }\overrightarrow{E_1}=\underset{\partial K}{\int }Pdx=\underset{K}{\iint }-{\partial }_{y}Pdxdy$$

Biz. (Lemma):
Bal oldala a Lemmabeli egyenletnek:

Transclude of Green-lemma-excali

$c_1:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2,x\mapsto (x,h(x))$

$$\underset{c_1}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_a^b(\overrightarrow{E_1}(c_1(t)))\cdot c_1^{\prime }(t)dt={\int }_a^b\left(P(c_1(t)),0\right)\cdot c_1^{\prime }(t)dt={\int }_a^b\left(P(x,h(x)),0\right)\cdot (1,h^{\prime }(x))dx=$$ $$={\int }_a^{b}P(x,h(x))dx$$

$c_3^{-}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2,x\mapsto (x,g(x))$

$$\underset{c_3}{\int }\overrightarrow{E_1}=-\underset{c_3^{-}}{\int }\overrightarrow{E_1}=-{\int }_a^{b}P(x,g(x))dx$$

$c_2:[h(b),g(b)]\to {\mathbb{R}}^2,y\mapsto (b,y)$

$$\underset{c_2}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_{h(b)}^{g(b)}\left(P(b,y)\right)\cdot (0,1)dy={\int }_{h(b)}^{g(y)}0dy=0$$

Hasonló módon $\underset{c_4}{\int }\overrightarrow{E_1}=0$

$$⟹\underset{\partial H}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_a^{b}P(x,h(x))dx-{\int }_a^{b}P(x,g(x))dx$$

jobboldala a Lemmabeli egyenletnek:

$$-\underset{H}{\iint }{\partial }_{y}Pdxdy=-{\int }_a^b{\int }_{h(x)}^{g(x)}{\partial }_{y}Pdydx\stackrel{\text{Newton Leibniz}}{=}-{\int }_a^{b}P(x,g(x))-P(x,h(x)dx=$$ $$={\int }_a^{b}P(x,h(x))-P(x,g(x))dx⟹\text{ baloldal }=\text{ jobboldal}$$