Green lemma

lemma

Lemma Ha $K$ egy I. típusú normáltartomány, $K\subset D\subset {\mathbb{R}}^2$ nyílt.
$P\in C^1(D)$, ${\vec{E}}_1=(P,0)$ vektormező.
Ekkor:

$$\underset{\partial K}{\int }\overrightarrow{E_1}=\underset{\partial K}{\int }Pdx=\underset{K}{\iint }-{\partial }_{y}Pdxdy$$

Biz. (Lemma):
Bal oldala a Lemmabeli egyenletnek:

Transclude of Green-lemma-excali

$c_1:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2,x\mapsto (x,h(x))$

$$\underset{c_1}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_a^b(\overrightarrow{E_1}(c_1(t)))\cdot c_1^{\prime }(t)dt={\int }_a^b\left(P(c_1(t)),0\right)\cdot c_1^{\prime }(t)dt={\int }_a^b\left(P(x,h(x)),0\right)\cdot (1,h^{\prime }(x))dx=$$ $$={\int }_a^{b}P(x,h(x))dx$$

$c_3^{-}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2,x\mapsto (x,g(x))$

$$\underset{c_3}{\int }\overrightarrow{E_1}=-\underset{c_3^{-}}{\int }\overrightarrow{E_1}=-{\int }_a^{b}P(x,g(x))dx$$

$c_2:[h(b),g(b)]\to {\mathbb{R}}^2,y\mapsto (b,y)$

$$\underset{c_2}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_{h(b)}^{g(b)}\left(P(b,y)\right)\cdot (0,1)dy={\int }_{h(b)}^{g(y)}0dy=0$$

Hasonló módon $\underset{c_4}{\int }\overrightarrow{E_1}=0$

$$⟹\underset{\partial H}{\int }\overrightarrow{E_1}={\int }_a^{b}P(x,h(x))dx-{\int }_a^{b}P(x,g(x))dx$$

Jobb oldala a Lemmabeli egyenletnek:

$$-\underset{H}{\iint }{\partial }_{y}Pdxdy=-{\int }_a^b{\int }_{h(x)}^{g(x)}{\partial }_{y}Pdydx\stackrel{\text{Newton Leibniz}}{=}-{\int }_a^{b}P(x,g(x))-P(x,h(x)dx=$$ $$={\int }_a^{b}P(x,h(x))-P(x,g(x))dx⟹\text{ baloldal }=\text{ jobboldal}$$

Dependencies:

• Normáltartomány