Tétel: Lipschitz.
Biz.: , feltehető, hogy
Lagrange középérték tétel miatt: úgy, hogy:
, ezért Weierstrass tétel miatt felveszi a minimumát/maximumát.
Tétel: g∈C1[a,b]⟹g Lipschitz.
Biz.: x,y∈[a,b], feltehető, hogy x<y
Lagrange középérték tétel miatt: ∃c∈[x,y] úgy, hogy:
y−xg(y)−g(x)=g′(c)⟹∣g(x)−g(y)∣=∣g′(c)∣⋅∣x−y∣g∈C1[a,b]⟹g′∈C[a,b], ezért Weierstrass tétel miatt felveszi a minimumát/maximumát.
⟹∣g(x)−g(y)∣≤K∣x−y∣