NumMod 2 2024.09.10.

Runge-Kutta modszerek (1901)

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }(t)& =f(t,y(t))\\ y(t_0)& =y_0\end{array}$$ $${\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{y}^{\prime }(t)dt={\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt$$

Newton-Leibniz:

$$y(t_{n+1})-y(t_n)={\int }_0^{\tau }f(t_n+s,y(t_n+s))ds$$ $$y(t_{n+1})=y(t_n)+\tau \cdot {\int }_0^{1}f(t_n+\xi \tau ,y(t_n+\xi \tau ))d\xi$$

legyen a fenti kifejezesben $f(\dots )=g(\xi )$

interpolaljuk a $g(\xi )$ fuggvenyt: $g(\xi )\approx {\sum }_{i=1}^{s}g(c_i)\cdot l_i(\xi )$

$$\begin{array}{rl}y(t_{n+1})& \approx y(t_n)+\tau \cdot {\int }_0^1\sum _{i=1}^{s}g(c_i)\cdot l_i(\xi )d\xi \\ & =y(t_n)+\tau \sum _{i=1}^{s}g(c_i)\cdot {\int }_0^1{l}_i(\xi )d\xi \end{array}$$

legyen $b_i={\int }_0^1{l}_i(\xi )d\xi$

$$y(t_{n+1})\approx y(t_n)+\tau \cdot \sum _{i=1}^s{b}_i\cdot f(t_n+c_i\tau ,y(t_n+c_i\tau ))$$

na de itt meg mindig nem tudjuk az $y(t_n+c_i\tau )$ ertekeket mert a legkesobbi ertek amit tudunk az a $y(t_n)$
Megolda: Vegezzuk el a Runge-Kutta modszert ezekre a pontokra is.

osszesitve

$$\begin{array}{rl}{y}_{n+1}& =y_n+\tau \cdot \sum _{i=1}^s{b}_i\cdot f(t_n+c_i\tau ,Y_{n,i})\\ Y_{n,i}& =y_n+\tau \sum _{j=1}^s{a}_{ij}\cdot f(t_n+c_j\tau ,Y_{n,j})j=1,\dots ,s\end{array}$$

Amikor $b_i$ es $a_{ij}$ tetszolegesek akkor mar ugy nevezzuk, hogy $s$ lepeses Runge-Kutta modszer (adott $s\in \mathbb{N}$ es $c_i\in [0,1]$ mellett)

pelda:
$s=1,c_1=0,b_1=1,a_{11}=0$

$$\begin{array}{rl}{y}_{n+1}& =y_n+\tau \cdot \sum _{i=1}^1{b}_i\cdot f(t_n+c_i\tau ,Y_{n,i})\\ & =y_n+\tau \cdot b_1\cdot f(t_n+c_1\tau ,Y_{n,1})\\ & \\ & =y_n+\tau \cdot f(t_n,Y_{n,1})\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{Y}_{n,1}& =y_n+\tau \cdot \sum _{j=1}^s{a}_{ij}f(t_n+c_j\tau ,Y_{n,j})\\ & =y_n+0\end{array}$$

behelyettesitve a fentibe a most kijott eredmenyt

$$y_{n+1}=y_n+\tau f(t_n,y_n)$$

Es visszakaptuk az Explicit-Euler modszert!

Hogyan lesz egy Runge-Kutta modszer explicit?
Ha elkepzeljuk az $A=(a_{ij})$ egyutthato matrixot akkor ha ez a matrix felso haromszog matrix akkor a kapott RK modszer explicit lesz.

Butcher tablo

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_s\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1s}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2s}\\ \dots & & & \\ a_{s1}& a_{s2}& \dots & a_{ss}\end{array}\right]\\ & \left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& \dots & \dots & b_s\end{array}\right]\end{array}$$

pelda:
Javitott Euler (Runge)

$$y_{n+1}=y_n+\tau f\left(t_n+\frac{\tau }{2},y_n+\frac{\tau }{2}f(t_n,y_n)\right)$$