Fejezetek a geometriából gyakorlat

Def. (vektortér projektivizáltja):
$P(V)=(V\setminus \{0\}{)}_{/\sim }$

Def. (projektív altér):
$U\le V$ lineáris altér, ekkor $(U\setminus \{0\}{)}_{/\sim }$ egy projektív altér.

Megj.:
$P(V)$ nem egy vektortér, és így a projektív altér nem egy altere az eredeti vektortér projektivizáltjának.

Def. (generált projektív altér):
$X\subseteq P(V)$. Ekkor $X$ által generált projektív altér az $X$-et tartalmazó legkisebb projektív altér.

Jel. (generált projektív altér):
$X$ által generált projektív altér: $⟨X⟩$

Áll.:
$\forall X\subseteq P(V)\exists !⟨X⟩$
A generált projektív altér létezik és egyértelmű

Def. (duális tér):
$U$ annulátora: $U^{\perp }$
$U^{\perp }=\{\alpha \in V^{\ast }:\alpha {|}_U\equiv 0\}$

Emlék:
$V^{\ast }=\{\alpha :V\to \mathbb{F}\}$ , $\alpha$ egy lineáris leképzés

Meggondolandó:
$U^{\perp }\le V^{\ast }$

Def. (projektív tér duálisa):
$P(V)$ duálisa: $P(V^{\ast })$

Tétel (dimenzió formula):
$S,T\le P(V)$ projektív alterek.
Ekkor: $dim(S\cap T)!dim(⟨S\cup T⟩)=dim(S)+dim(T)$

Megj.:
$dim(\varnothing )=-1$

Jel.:
$v$ ekvivalencia osztályai: $[v]=\{u\in V:u\sim v\}$

Def. (homogén koordináták):
Adott bázis $V$-ben: $\{u_1,\dots ,u_{d+1}\}$, azaz, $\forall v\in V$, ekkor $\exists !{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{d+1}\in \mathbb{F}$, úgy hogy $v={\sum }_{i=1}^{d+1}{\alpha }_i\cdot u_i$
Ekkor, $[v]$ homogén koordinátái: $[{\alpha }_1:{\alpha }_2:\dots :{\alpha }_{d+1}]$

Def. (projektív bázis):
$A_0,A_1,\dots ,A_{d+1}\in P(V)$ projektív bázis, ha léteznek reprezentánsaik $V$-ben úgy, hogy: $[a_0]=A_0,[a_1]=A_1,\dots ,[a_{d+1}]=A_{d+1}$ és $a_0={\sum }_{i=1}^{d+1}{a}_i$ és $a_1,a_2,\dots ,a_{d+1}$ bázis $V$-ben.

Áll.