Fundamentális kontrakciós egyenlőtlenség

lemma

Lemma: Adott $(X,\rho )$ metrikus tér, $f:(X,\rho )\to (X,\rho )$ kontrakció $0<K<1$ paraméterrel.
Ekkor:

$$\forall x_1,x_2\in X:\rho (x_1,x_2)\le \frac{1}{1-K}\left(\rho (x_1,f(x_1))+\rho (x_2,f(x_2))\right)$$

Biz.:

$$\rho (x_1,x_2)\le \rho (x_1,f(x_1))+\rho (f(x_1),x_2)\le \rho (x_1,f(x_1))+\rho (f(x_1),f(x_2))+\rho (f(x_2),x_2)$$ $$\rho (f(x_1),f(x_2))\le K\cdot \rho (x_1,x_2)⟹\rho (x_1,x_2)\le \rho (x_1,f(x_1))+K\cdot \rho (x_1,x_2)+\rho (f(x_2),x_2)$$ $$⟹(1-K)\cdot \rho (x_1,x_2)\le \rho (x_1,f(x_1))+\rho (x_2,f(x_2))$$ $$⟹\rho (x_1,x_2)\le \frac{1}{1-K}\left(\rho (x_1,f(x_1))+\rho (x_2,f(x_2))\right)$$

Köv.: Kontrakciónak egyértelű a fixpontja

Dependencies:

• Metrikus tér
• Kontrakció