Komplex exponenciális tulajdonságai

tétel-biz

Tétel:

1. $\forall z,w\in \mathbb{C}:e^{z+w}=e^z{e}^w$
2. $\forall z\in \mathbb{C}:e^z\ne 0$ és $e^{-z}=\frac{1}{e^z}$
3. $\forall z\in \mathbb{C}:e^{z+2\pi i}=e^z$ és $e^z=1⟺z=2k\pi i,k\in \mathbb{Z}$
4. $e^z:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ szürjektív.

Biz.:

1. $e^z={\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{z^j}{j!}$ és $e^w={\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{w^j}{j!}$ abszolút konvergensek.

$$e^z{e}^w\text{ Cauchy szorzata: }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j=0}^n\frac{z^j}{j!}\cdot \frac{w^{n-j}}{(n-j)!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)z^j{w}^{n-j}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(z+w{)}^n}{n!}=e^{z+w}$$

2. $1=e^0=e^{z-z}=e^z\cdot e^{-z}⟹1=e^z\cdot e^{-z}⟹\frac{1}{e^z}=e^{-z}$

3. $e^{z+2\pi i}=e^z\cdot \left(e^{k\pi i}\right)=e^z\left(\cos (2\pi )+i\sin (2\pi )\right)=e^z\left(1+i\cdot 0\right)=e^z$
   $1=e^z=e^{x+iy}=e^x\left(\cos (y)+i\sin (y)\right)⟹e^x\cos (y)=1,e^x\sin (y)=0$
   $e^x\cos (y)=1⟹x=0,y=2k\pi$
   $e^x\sin (y)=0⟹x=0,y=n\pi$
   $⟹z=0+2k\pi i=2k\pi i$

4. $e^z=e^{x+iy}=e^x\left(\cos (y)+i\sin (y)\right)=w$
   $|w|=e^x$
   $arg(w)=y$
   

   Transclude of exp(z)-szürjektív

   
   $⟹e^{x+iy}{|}_{y=y_0}$ szürjektív $⟹e^{x+iy}$ szürjektív, mert $y_0$ tetszőlegesen választható.